Ophopingspunt

In de wiskunde, meer bepaald in de analyse en de topologie, is een ophopingspunt, ook verdichtingspunt of limietpunt, van een verzameling een punt (niet noodzakelijk tot de verzameling behorend) waar in elke omgeving van dat punt, hoe klein die omgeving ook is, oneindig veel punten van de verzameling liggen. Punten van de verzameling hopen zich op in de buurt van het ophopingspunt; hoe dichter men het verdichtingspunt nadert, hoe dichter de punten van de verzameling opeen liggen. De verzameling moet natuurlijk een minimale structuur hebben, zodat van omgevingen kan worden gesproken. Ophopingspunten zijn gedefinieerd in topologische ruimten, of specifieker in metrische ruimten en euclidische ruimten.

Getallenrij

Een oneindige rij in ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ (zie topologische ruimten met oneindig als element) heeft altijd een of meer ophopingspunten. Is er slechts één ophopingspunt, dan is de rij convergent met het ophopingspunt als limiet. De kleinste (eigenlijk het infimum) van de ophopingspunten heet de liminf van de rij; de grootste (het supremum) heet limsup.

Definitie

Het punt ${\displaystyle c}$ heet ophopingspunt van de verzameling ${\displaystyle A}$ als in iedere omgeving van ${\displaystyle c}$ nog een punt van ${\displaystyle A}$ ligt, ongelijk aan ${\displaystyle c}$.

Is de verzameling ${\displaystyle A}$ een metrische ruimte met metriek ${\displaystyle d}$, dan geldt voor een ophopingspunt ${\displaystyle c}$ dat bij ieder getal ${\displaystyle \varepsilon >0}$ een element ${\displaystyle a\in A,\ a\neq c}$ is met ${\displaystyle d(a,c)<\varepsilon .}$

Alternatief kan de definitie in dat geval ook in termen van een rij worden gegeven:

Het punt ${\displaystyle c}$ heet ophopingspunt van de metrische ruimte ${\displaystyle A}$, als er een rij ${\displaystyle (a_{n})}$ in ${\displaystyle A}$ bestaat, waarvan alle elementen ${\displaystyle a_{n}\neq c}$ zijn en die naar ${\displaystyle c}$ convergeert.

Voorbeelden

Hieronder staan enkele eenvoudige voorbeelden van ophopingspunten.

Voorbeeld 1: Eén ophopingspunt

Van de rij positieve natuurlijke getallen ${\displaystyle (1/n)}$ is 0 het ophopingspunt.

Voorbeeld 2: Twee ophopingspunten

Een voorbeeld van meer dan één ophopingspunt is de rij ${\displaystyle b}$, met

${\displaystyle b_{n}=(-1)^{n}\left(1+{\frac {1}{n}}\right),n\in \mathbb {N} ,n\neq 0}$.

Deze rij heeft duidelijk twee convergente deelrijen: de deelrij van de even ${\displaystyle n}$ en de deelrij voor de oneven ${\displaystyle n}$. De deelrijen ${\displaystyle q}$ (bovenste rij) en ${\displaystyle r}$ (onderste rij) convergeren respectievelijk naar 1 en −1. De rij ${\displaystyle (b_{n})}$ heeft dus twee ophopingspunten.

${\displaystyle q_{m}=b_{2m}=1+{\frac {1}{2m}}}$

${\displaystyle r_{m}=b_{2m-1}=-\left(1+{\frac {1}{2m-1}}\right)}$

Voorbeeld 3: Oneindig als ophopingspunt

De rij ${\displaystyle (a_{n}),n\in \mathbb {N} ,n\neq 0}$ met ${\displaystyle a_{n}=(-1)^{n}n}$ bevat twee deelrijen ${\displaystyle (q_{m})}$ voor de even indices en ${\displaystyle (r_{m})}$ voor de oneven indices, die respectievelijk ${\displaystyle +\infty }$ en ${\displaystyle -\infty }$ als ophopingspunt hebben.

${\displaystyle q_{m}=a_{2m}=2m}$

${\displaystyle r_{m}=a_{2m-1}=1-2m}$