Frobenius-endomorfisme

In de commutatieve algebra en de theorie van lichamen/velden, deelgebieden van de wiskunde, is het frobenius-endomorfisme een speciaal endomorfisme van commutatieve ringen met een priemgetal ${\displaystyle p}$ als karakteristiek dat elk element afbeeldt. op zijn ${\displaystyle p}$-de macht. In bepaalde contexten is een frobenius-endomorfisme een automorfisme, maar dit is in het algemeen niet het geval. Commutatieve ringen met een priemgetal als karakteristiek vormen een belangrijke klasse die in het bijzonder de lichamen/velden omvat. Het frobenius-endomorfisme is genoemd naar Ferdinand Georg Frobenius.

Voor eindige lichamen ${\displaystyle \mathrm {GF} (p^{n})}$ van karakteristiek ${\displaystyle p}$ is het frobenius-endomorfisme van speciaal belang, en is het zelfs zo dat de gehele groep van automorfismen wordt voortgebracht door het frobenius-endomorfisme

${\displaystyle F\colon x\mapsto x^{p}}$

Er geldt ${\displaystyle (a+b)^{p}=a^{p}+b^{p}}$, aangezien alle andere termen in het binomium deelbaar zijn door ${\displaystyle p}$. Dus is

${\displaystyle F(a+b)=F(a)+F(b)}$

Ook is:

${\displaystyle F(ab)=(ab)^{p}=a^{p}b^{b}=F(a)F(b)}$

en

${\displaystyle F(1)=1}$

Er zijn niet meer dan ${\displaystyle n}$ automorfismen, omdat de multiplicatieve groep ${\displaystyle \mathrm {GF} _{q}^{*}}$ cyclisch is.

Geplaatst op: 20-11-2009

Dit artikel is een beginnetje over wiskunde. U wordt uitgenodigd om op bewerken te klikken om uw kennis aan dit artikel toe te voegen.