Differentiaal

Een differentiaal is in de wiskunde een verandering (toename of afname), van een veranderlijke of een functiewaarde die oneindig klein wordt.

Als een veranderlijke een verandering ${\displaystyle \Delta x}$ ondergaat en men laat die verandering tot nul naderen, dan spreekt men van de differentiaal van ${\displaystyle x}$ (notatie ${\displaystyle \mathrm {d} x}$).

Als ${\displaystyle x}$ verbonden is met ${\displaystyle y}$ door een functie ${\displaystyle y=f(x)}$, correspondeert met een verandering ${\displaystyle \Delta x}$ in de veranderlijke ${\displaystyle x}$ een verandering ${\displaystyle \Delta y}$ in ${\displaystyle y}$. Met de differentiaal ${\displaystyle \mathrm {d} x}$ van ${\displaystyle x}$ correspondeert de differentiaal ${\displaystyle \mathrm {d} y}$ van ${\displaystyle y}$.

Het quotiënt van de differentialen is het differentiaalquotiënt ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$, de afgeleide van de functie ${\displaystyle f(x)}$, of de limiet van het differentiequotiënt.

Als bijvoorbeeld in de figuur ${\displaystyle B}$ tot ${\displaystyle A}$ nadert, nadert ${\displaystyle \Delta x}$ tot 0, men spreekt dan van de differentiaal ${\displaystyle \mathrm {d} x}$ van ${\displaystyle x}$, dan wordt het differentiequotiënt ${\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$ de afgeleide.

Berekening

• Voor een expliciete functie ${\displaystyle y=f(x)}$ van één veranderlijke is de totale differentiaal gelijk aan:

${\displaystyle \mathrm {d} y=f'(x)\,\mathrm {d} x}$

• De totale differentiaal kan worden gegeneraliseerd voor expliciete functies van meerdere veranderlijken, en bevat dan bijdragen van elk van de onafhankelijke veranderlijken. Zo is de totale differentiaal van de functie:

${\displaystyle y=f(x_{1},\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{n})}$

gelijk aan:

${\displaystyle \mathrm {d} y={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\mathrm {d} x_{1}+\ldots +{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\mathrm {d} x_{i}+\ldots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\mathrm {d} x_{n}}$

• Ook voor impliciete functies kan men dit begrip uitbreiden. Bij een impliciete functie:

${\displaystyle f(x,y,z,u)=0}$

differentieert men eerst beide leden, zodat:

${\displaystyle f'_{x}\mathrm {d} x+f'_{y}\mathrm {d} y+f'_{z}\mathrm {d} z+f'_{u}\mathrm {d} u=0}$

Vervolgens kan men een van de veranderlijken als afhankelijk beschouwen van de drie andere. Kies bijvoorbeeld u als afhankelijke variabele, dan volgt:

${\displaystyle \mathrm {d} u=-{\frac {f'_{x}}{f'_{u}}}\mathrm {d} x-{\frac {f'_{y}}{f'_{u}}}\mathrm {d} y-{\frac {f'_{z}}{f'_{u}}}\mathrm {d} z}$

• Bij samengestelde functies kan de differentiaal op verschillende niveaus geschreven worden. Neem bijvoorbeeld:

${\displaystyle z=f(x,y)}$, met ${\displaystyle x=x(u,v),\quad y=y(u,v)}$

Dan is:

${\displaystyle \mathrm {d} z=z'_{x}\mathrm {d} x+z'_{y}\mathrm {d} y}$

Maar omdat ook op hun beurt

${\displaystyle \mathrm {d} x=x'_{u}\mathrm {d} u+x'_{v}\mathrm {d} v}$

en

${\displaystyle \mathrm {d} y=y'_{u}\mathrm {d} u+y'_{v}\mathrm {d} v}$,

geldt eveneens:

${\displaystyle \mathrm {d} z=(z'_{x}\,x'_{u}+z'_{y}\,y'_{u})\,\mathrm {d} u+(z'_{x}\,x'_{v}+z'_{y}\,y'_{v})\,\mathrm {d} v}$