Taburan Landau

Di dalam teori kebarangkalian, taburan Landau^[1] ialah taburan kebarangkalian yang dinamakan sempena Lev Landau. Disebabkan ekor taburannya yang "tebal", momen taburan tersebut, seperti min atau varians, tidak terdefinisi. Taburan ini merupakan kes khusus bagi taburan stabil.

Definisi

Fungsi ketumpatan kebarangkalian itu, yang asalnya ditulis oleh Landau, ditakrifkan dengan kamiran kompleks:

${\displaystyle p(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{a-i\infty }^{a+i\infty }e^{s\log(s)+xs}\,ds,}$

di mana a ialah nombor nyata positif, bermakna lintasan kamirannya boleh terdiri dari mana-mana yang berselari dengan paksi khayalan, bersilang dengan paksi-separa positif nyata, dan ${\displaystyle \log }$ merujuk kepada logaritma asli.

Kamiran nyata berikut sama dengan di atas:

${\displaystyle p(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-t\log(t)-xt}\sin(\pi t)\,dt.}$

Kumpulan penuh taburan-taburan Landau boleh didapati dengan melanjutkan taburan asal itu ke dalam sebuah kumpulan kedudukan-skala bagi taburan-taburan stabil dengan parameter ${\displaystyle \alpha =1}$ dan ${\displaystyle \beta =1}$,^[2] dengan fungsi cirian:^[3]

${\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=\exp \left(it\mu -{\tfrac {2ict}{\pi }}\log |t|-c|t|\right)}$

di mana ${\displaystyle c\in (0,\infty )}$ dan ${\displaystyle \mu \in (-\infty ,\infty )}$, yang memberikan sebuah fungsi ketumpatan:

${\displaystyle p(x;\mu ,c)={\frac {1}{\pi c}}\int _{0}^{\infty }e^{-t}\cos \left(t\left({\frac {x-\mu }{c}}\right)+{\frac {2t}{\pi }}\log \left({\frac {t}{c}}\right)\right)\,dt,}$

Bentuk asal ${\displaystyle p(x)}$ diperolehi dengan ${\displaystyle \mu =0}$ dan ${\displaystyle c={\frac {\pi }{2}}}$, sementara berikut adalah penghampiran^[4] bagi ${\displaystyle p(x;\mu ,c)}$ dengan ${\displaystyle \mu =0}$ dan ${\displaystyle c=1}$:

${\displaystyle p(x)\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left(-{\frac {x+e^{-x}}{2}}\right).}$

Taburan berkaitan

• Jika ${\displaystyle X\sim {\textrm {Landau}}(\mu ,c)\,}$ maka ${\displaystyle X+m\sim {\textrm {Landau}}(\mu +m,c)\,}$.
• Taburan Landau ialah sebuah taburan stabil dengan kedua-dua parameter kestabilan ${\displaystyle \alpha }$ dan kepencongan ${\displaystyle \beta }$ sama dengan 1.

Rujukan

Templat:ProbDistributions