Nilai mutlak

Grafik fungsi y-x, dengan x nombor nyata.

Dalam matematik, Nilai mutlak atau nilai absolut atau modulus merupakan nilai bagi suatu nombor nyata tanpa tanda tambah atau tolak. Baik | a | {\displaystyle |a|} ataupun | − a | {\displaystyle |-a|} sama-sama bernilai a {\displaystyle a} . Sebagai contoh, nilai mutlak dari 3 adalah 3, dan nilai mutlak dari –3 juga 3.

Terminologi dan penulisan

Jean-Robert Argand memperkenalkan istilah "module" pada tahun 1806 di Perancis khususnya untuk nilai mutlak nombor kompleks,[1][2] dan perkataan itu akhirnya di terima dalam bahasa Inggeris pada tahun 1866 menjadi "modulus".[1]

Istilah "nilai mutlak" telah digunakan sejak tahun 1806 di Perancis[3] dan 1857 di England.[4] Penulisan | a | diperkenalkan oleh Karl Weierstrass tahun 1841.[5]

Maksud dan harta

Untuk semua nombor nyata a nilai mutlak dinyatakan dengan | a | (a diapit garis vertikal) dan didefinisikan sebagai:[6]

| a | = { a , if  a ≥ 0 − a , if  a < 0. {\displaystyle |a|={\begin{cases}a,&{\mbox{if }}a\geq 0\\-a,&{\mbox{if }}a<0.\end{cases}}}

Dari maksud di atas, nilai mutlak a akan selalu positif atau nol, tetapi tidak pernah negatif

Maksud lain dari nilai mutlak adalah

| a | = a 2 {\displaystyle |a|={\sqrt {a^{2}}}}
| a | 2 = a 2 {\displaystyle |a|^{2}=a^{2}\,}

disebabkan nombor daripada punca kuasa dua mewakili nombor positif.

Maksud ini sering digunakan untuk menyelesaikan suatu persamaan mutlak. Contoh:

| x − 2 | = x {\displaystyle |x-2|=x}
| x − 2 | 2 = x 2 {\displaystyle |x-2|^{2}=x^{2}}
( x − 2 − x 2 ) ( x − 2 + x 2 ) = 0 {\displaystyle (x-2-x^{2})(x-2+x^{2})=0}
( x 2 − x + 2 ) ( x 2 + x − 2 ) = 0 {\displaystyle (x^{2}-x+2)(x^{2}+x-2)=0}
x = 1 ∨ x = − 2 {\displaystyle x=1\lor x=-2}

(Catatan: x 2 − x + 2 {\displaystyle x^{2}-x+2} tidak mempunyai nombor nyata.)

Nota

  1. ^ a b Oxford English Dictionary, Draft Revision, June 2008
  2. ^ Nahin, O'Connor and Robertson, and functions.Wolfram.com.; for the French sense, see Littré, 1877
  3. ^ Lazare Nicolas M. Carnot, Mémoire sur la relation qui existe entre les distances respectives de cinq point quelconques pris dans l'espace, p. 105 at Google Books
  4. ^ James Mill Peirce, A Text-book of Analytic Geometry at Google Books. The oldest citation in the 2nd edition of the Oxford English Dictionary is from 1907. The term "absolute value" is also used in contrast to "relative value".
  5. ^ Nicholas J. Higham, Handbook of writing for the mathematical sciences, SIAM. ISBN 0-89871-420-6, p. 25
  6. ^ Mendelson, p. 2.

Rujukan

  • Bartle; Sherbert; Introduction to real analysis (4th ed.), John Wiley & Sons, 2011 ISBN 978-0-471-43331-6.
  • Nahin, Paul J.; An Imaginary Tale; Princeton University Press; (hardcover, 1998). ISBN 0-691-02795-1.
  • Mac Lane, Saunders, Garrett Birkhoff, Algebra, American Mathematical Soc., 1999. ISBN 978-0-8218-1646-2.
  • Mendelson, Elliott, Schaum's Outline of Beginning Calculus, McGraw-Hill Professional, 2008. ISBN 978-0-07-148754-2.
  • O'Connor, J.J. and Robertson, E.F.; "Jean Robert Argand".
  • Schechter, Eric; Handbook of Analysis and Its Foundations, pp 259–263, "Absolute Values", Academic Press (1997) ISBN 0-12-622760-8.