行列式に対するライプニッツの明示公式

F を定理の条件を満たす函数とし、任意の n × n 行列 A ≔ (a j
i )j=1,…,n
i=1,…,n  に対して、A の第 j-列ベクトルを a^j ≔ (a j
i )i=1,…,n  と書くことにする—すなわち A = (a¹, …, aⁿ) である。同様に単位行列 I もその第 k-列を e^k として I = (e¹, …, eⁿ) と書く。

すると A の各列ベクトルは a^j = ∑n
k=1 a j
k e^k と書けるから、F の多重線型性により

を得る。F の交代性により添字が重複する項が全て零となるから、上記の和は添字に重複のない並びすなわち添字の置換となっている項だけが残り、 と整理できる。さらに F の交代性により、列ベクトル e^σ(k) たちの並びを、単位行列になるまで入れ替えるとき、そのような入れ替えで必要な数だけ符号を反転したものが置換の符号 sgn(σ) にほかならないから、結局 であることが分かる（最後の等号は、F(I) が仮定により 1 に等しいことによる）。したがって、定理の条件を満たす函数 F はライプニッツの公式で定義される函数をおいてよりほかはない。

函数 F はライプニッツの公式によって定義された函数とし、以下この F が定理の条件をすべて満たすことを見る。

多重線型性

$${\displaystyle {\begin{aligned}F(\mathbf {a} ^{1},\dotsc ,c\mathbf {a} ^{j},\dotsc ,\mathbf {a} ^{n})&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )ca_{\sigma (j)}^{j}\prod _{i=1,\dotsc ,n \atop i\neq j}a_{\sigma (i)}^{i}\\&=c\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\\&=cF(\mathbf {a} ^{1},\dotsc ,\mathbf {a} ^{j},\dotsc ,\mathbf {a} ^{n})\end{aligned}}}$$

および

$${\displaystyle {\begin{aligned}F(\mathbf {a} ^{1},\dotsc ,\mathbf {a} ^{j}+\mathbf {b} ^{j},\dotsc ,\mathbf {a} ^{n})&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )(a_{\sigma (j)}^{j}+b_{\sigma (j)}^{j})\prod _{i=1,\dotsc ,n \atop i\neq j}a_{\sigma (i)}^{i}\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma ){\biggl (}{\Bigl (}\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}{\Bigr )}+{\Bigl (}b_{\sigma (j)}^{j}\prod _{i=1,\dotsc ,n \atop i\neq j}a_{\sigma (i)}^{i}{\Bigr )}{\biggr )}\\&={\Bigl (}\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}{\Bigr )}+{\Bigl (}\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )b_{\sigma (j)}^{j}\prod _{i=1,\dotsc ,n \atop i\neq j}a_{\sigma (i)}^{i}{\Bigr )}\\&=F(\mathbf {a} ^{1},\dotsc ,\mathbf {a} ^{j},\dotsc ,\mathbf {a} ^{n})+F(\mathbf {a} ^{1},\dotsc ,\mathbf {b} ^{j},\dotsc ,\mathbf {a} ^{n})\end{aligned}}}$$

交代性

$${\displaystyle F(\mathbf {a} ^{1},\dotsc ,\mathbf {a} ^{j_{1}},\dotsc ,\mathbf {a} ^{j_{2}},\dotsc ,\mathbf {a} ^{n})=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\alpha _{\sigma }a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}\qquad {\Bigl (}\alpha _{\sigma }:=\prod _{i=1,\dotsc ,n \atop i\neq j_{1},i\neq j_{2}}a_{\sigma (i)}^{i}{\Bigr )}}$$

において、各 σ ∈ S_n に対し、σ から添字 j₁ と j₂ を入れ替えて得られる置換を σ′ と書くことにすれば、右辺はさらに

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\quad \sum _{\sigma \in S_{n}, \atop \sigma (j_{1})<\sigma (j_{2})}{\Bigl (}\operatorname {sgn}(\sigma )\alpha _{\sigma }a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}+\operatorname {sgn}(\sigma ')\alpha _{\sigma '}a_{\sigma '(j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma '(j_{2})}^{j_{2}}{\Bigr )}\\&=\sum _{\sigma \in S_{n} \atop \sigma (j_{1})<\sigma (j_{2})}{\bigl (}\operatorname {sgn}(\sigma )\alpha _{\sigma }a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}-\operatorname {sgn}(\sigma )\alpha _{\sigma }a_{\sigma (j_{2})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{1})}^{j_{2}}{\bigr )}\\&=\sum _{\sigma \in S_{n} \atop \sigma (j_{1})<\sigma (j_{2})}\operatorname {sgn}(\sigma )\alpha _{\sigma }{\bigl (}a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}-a_{\sigma (j_{1})}^{j_{2}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{_{1}}}{\bigr )}\end{aligned}}}$$

と書き直せるから、

$${\displaystyle \mathbf {a} ^{j_{1}}=\mathbf {a} ^{j_{2}}\implies F(A)=0}$$

を得る。

最後に F(I) = 1 となることは、I = (δ j
i )j=1,…,n
i=1,…,n （δ j
i  はクロネッカーのデルタ）および、σ が恒等置換でないかぎり ∏ n
i=1 δ i
σ(i)  = 0 となることに注意すれば

と計算できる。