百四十四角形

百四十四角形（ひゃくよんじゅうよんかくけい、ひゃくよんじゅうよんかっけい、hecatotetracontatetragon）は、多角形の一つで、144本の辺と144個の頂点を持つ図形である。内角の和は25560°、対角線の本数は10152本である。

正百四十四角形

正百四十四角形においては、中心角と外角は2.5°で、内角は177.5°となる。一辺の長さが a の正百四十四角形の面積 S は

S = 36 a 2 cot ⁡ π 144 {\displaystyle S=36a^{2}\cot {\frac {\pi }{144}}}
関係式
x 1 = 2 cos ⁡ 2 π 144 + 2 cos ⁡ 98 π 144 + 2 cos ⁡ 94 π 144 = 0 x 2 = 2 cos ⁡ 14 π 144 + 2 cos ⁡ 110 π 144 + 2 cos ⁡ 82 π 144 = 0 x 3 = 2 cos ⁡ 10 π 144 + 2 cos ⁡ 86 π 144 + 2 cos ⁡ 106 π 144 = 0 x 4 = 2 cos ⁡ 70 π 144 + 2 cos ⁡ 26 π 144 + 2 cos ⁡ 122 π 144 = 0 x 5 = 2 cos ⁡ 50 π 144 + 2 cos ⁡ 142 π 144 + 2 cos ⁡ 46 π 144 = 0 x 6 = 2 cos ⁡ 62 π 144 + 2 cos ⁡ 130 π 144 + 2 cos ⁡ 34 π 144 = 0 x 7 = 2 cos ⁡ 38 π 144 + 2 cos ⁡ 134 π 144 + 2 cos ⁡ 58 π 144 = 0 x 8 = 2 cos ⁡ 22 π 144 + 2 cos ⁡ 74 π 144 + 2 cos ⁡ 118 π 144 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}&x_{1}=2\cos {\frac {2\pi }{144}}+2\cos {\frac {98\pi }{144}}+2\cos {\frac {94\pi }{144}}=0\\&x_{2}=2\cos {\frac {14\pi }{144}}+2\cos {\frac {110\pi }{144}}+2\cos {\frac {82\pi }{144}}=0\\&x_{3}=2\cos {\frac {10\pi }{144}}+2\cos {\frac {86\pi }{144}}+2\cos {\frac {106\pi }{144}}=0\\&x_{4}=2\cos {\frac {70\pi }{144}}+2\cos {\frac {26\pi }{144}}+2\cos {\frac {122\pi }{144}}=0\\&x_{5}=2\cos {\frac {50\pi }{144}}+2\cos {\frac {142\pi }{144}}+2\cos {\frac {46\pi }{144}}=0\\&x_{6}=2\cos {\frac {62\pi }{144}}+2\cos {\frac {130\pi }{144}}+2\cos {\frac {34\pi }{144}}=0\\&x_{7}=2\cos {\frac {38\pi }{144}}+2\cos {\frac {134\pi }{144}}+2\cos {\frac {58\pi }{144}}=0\\&x_{8}=2\cos {\frac {22\pi }{144}}+2\cos {\frac {74\pi }{144}}+2\cos {\frac {118\pi }{144}}=0\\\end{aligned}}}

三次方程式の係数を求めると

2 cos ⁡ 2 π 144 ⋅ 2 cos ⁡ 98 π 144 + 2 cos ⁡ 98 π 144 ⋅ 2 cos ⁡ 94 π 144 + 2 cos ⁡ 94 π 144 ⋅ 2 cos ⁡ 2 π 144 = − 3 2 cos ⁡ 2 π 144 ⋅ 2 cos ⁡ 98 π 144 ⋅ 2 cos ⁡ 94 π 144 = 2 cos ⁡ 2 π 48 {\displaystyle {\begin{aligned}&2\cos {\frac {2\pi }{144}}\cdot 2\cos {\frac {98\pi }{144}}+2\cos {\frac {98\pi }{144}}\cdot 2\cos {\frac {94\pi }{144}}+2\cos {\frac {94\pi }{144}}\cdot 2\cos {\frac {2\pi }{144}}=-3\\&2\cos {\frac {2\pi }{144}}\cdot 2\cos {\frac {98\pi }{144}}\cdot 2\cos {\frac {94\pi }{144}}=2\cos {\frac {2\pi }{48}}\\\end{aligned}}}

解と係数の関係より

u 3 − 3 u − 2 cos ⁡ 2 π 48 = 0 {\displaystyle u^{3}-3u-2\cos {\frac {2\pi }{48}}=0}

三次方程式を解くと

u 1 = 2 cos ⁡ 2 π 144 = cos ⁡ 2 π 48 + i sin ⁡ 2 π 48 3 + cos ⁡ 2 π 48 − i sin ⁡ 2 π 48 3 4 cos ⁡ 2 π 144 = 8 cos ⁡ 2 π 48 + i 8 sin ⁡ 2 π 48 3 + 8 cos ⁡ 2 π 48 − i 8 sin ⁡ 2 π 48 3 4 cos ⁡ 2 π 144 = 4 2 + 2 + 3 + i ⋅ 4 2 − 2 + 3 3 + 4 2 + 2 + 3 − i ⋅ 4 2 − 2 + 3 3 {\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}=2\cos {\frac {2\pi }{144}}=&{\sqrt[{3}]{\cos {\frac {2\pi }{48}}+i\sin {\frac {2\pi }{48}}}}+{\sqrt[{3}]{\cos {\frac {2\pi }{48}}-i\sin {\frac {2\pi }{48}}}}\\4\cos {\frac {2\pi }{144}}=&{\sqrt[{3}]{8\cos {\frac {2\pi }{48}}+i8\sin {\frac {2\pi }{48}}}}+{\sqrt[{3}]{8\cos {\frac {2\pi }{48}}-i8\sin {\frac {2\pi }{48}}}}\\4\cos {\frac {2\pi }{144}}=&{\sqrt[{3}]{4{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}+i\cdot 4{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}+{\sqrt[{3}]{4{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}-i\cdot 4{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}\\\end{aligned}}}

cos ⁡ ( 2 π / 144 ) {\displaystyle \cos(2\pi /144)} を平方根と立方根で表すと

cos ⁡ 2 π 144 = 1 4 4 2 + 2 + 3 + i ⋅ 4 2 − 2 + 3 3 + 1 4 4 2 + 2 + 3 − i ⋅ 4 2 − 2 + 3 3 {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{144}}={\frac {1}{4}}{\sqrt[{3}]{4{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}+i\cdot 4{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}+{\frac {1}{4}}{\sqrt[{3}]{4{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}-i\cdot 4{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}}

正百四十四角形の作図

正百四十四角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正百四十四角形は折紙により作図可能である。

脚注

[脚注の使い方]

関連項目

外部リンク

ポータル 数学
ポータル 数学
  • 表
  • 話
  • 編
  • 歴
非古典的 (2辺以下)
辺の数: 3–10
三角形
四角形
五角形
六角形
  • 正六角形
  • 円に内接する六角形
  • 円に外接する六角形
  • ルモワーヌの六角形（英語版）
辺の数: 11–20
辺の数: 21–30
辺の数: 31–40
辺の数: 41–50
辺の数: 51–70
（selected）
辺の数: 71–100
（selected）
辺の数: 101–
（selected）
無限
星型多角形
（辺の数: 5–12）
多角形のクラス
  • 表示
  • 編集