ラウスの定理

幾何学におけるラウスの定理（ラウスのていり）とは、三角形とその内部に作られた三角形との比を決定する定理である。

この定理はエドワード・ラウスが1896年に書いた Treatise on Analytical Statics with Numerous Examples の82ページに登場する。

定理

三角形 ABC の BC 上に D を、CA 上に E を、AB 上に F をとる。 C D B D = x {\displaystyle {\tfrac {CD}{BD}}=x} , A E C E = y {\displaystyle {\tfrac {AE}{CE}}=y} , B F A F = z {\displaystyle {\tfrac {BF}{AF}}=z} としたとき、三角形 ABC の面積に対する AD, BE, CF の3本の線で囲まれる三角形の面積は以下の式で表される。

( x y z − 1 ) 2 ( x y + y + 1 ) ( y z + z + 1 ) ( z x + x + 1 ) . {\displaystyle {\frac {(xyz-1)^{2}}{(xy+y+1)(yz+z+1)(zx+x+1)}}.}

一例として、x = y = z = 2 のときには元の面積の1/7の三角形(en)が作られる。xyz = 1 のときはこの式は0となるが、これはチェバの定理の逆が成り立つため3線が1点に集まるからである。

証明

三角形 ABC の面積を 1 とする。三角形 ABD と直線 FRC に対しメネラウスの定理を適用すると以下の式が得られる。

A F F B × B C C D × D R R A = 1 {\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\times {\frac {BC}{CD}}\times {\frac {DR}{RA}}=1}

これを変形する。

D R R A = B F F A D C C B = z x x + 1 {\displaystyle {\frac {DR}{RA}}={\frac {BF}{FA}}{\frac {DC}{CB}}={\frac {zx}{x+1}}}

三角形 ARC の面積は以下のように求まる。

S A R C = A R A D S A D C = A R A D D C B C S A B C = x z x + x + 1 {\displaystyle S_{ARC}={\frac {AR}{AD}}S_{ADC}={\frac {AR}{AD}}{\frac {DC}{BC}}S_{ABC}={\frac {x}{zx+x+1}}}

同様に S B P A = y x y + y + 1 {\displaystyle S_{BPA}={\frac {y}{xy+y+1}}} 、 S C Q B = z y z + z + 1 {\displaystyle S_{CQB}={\frac {z}{yz+z+1}}} が得られる。

以上から三角形 PQR の面積は以下のように求められる。

S P Q R = S A B C − S A R C − S B P A − S C Q B {\displaystyle \displaystyle S_{PQR}=S_{ABC}-S_{ARC}-S_{BPA}-S_{CQB}}
= 1 − x z x + x + 1 − y x y + y + 1 − z y z + z + 1 {\displaystyle =1-{\frac {x}{zx+x+1}}-{\frac {y}{xy+y+1}}-{\frac {z}{yz+z+1}}}
= ( x y z − 1 ) 2 ( x z + x + 1 ) ( y x + y + 1 ) ( z y + z + 1 ) . {\displaystyle ={\frac {(xyz-1)^{2}}{(xz+x+1)(yx+y+1)(zy+z+1)}}.}

参考文献

  • Murray S. Klamkin and A. Liu (1981) "Three more proofs of Routh's theorem", Crux Mathematicorum 7:199–203.
  • H. S. M. コクセター (1969) Introduction to Geometry, statement p. 211, proof pp. 219–20, 2nd edition, Wiley, New York.
  • J. S. Kline and D. Velleman (1995) "Yet another proof of Routh's theorem" (1995) Crux Mathematicorum 21:37–40
  • Routh's Theorem, Jay Warendorff, The Wolfram Demonstrations Project.
  • Weisstein, Eric W. "Routh's Theorem". mathworld.wolfram.com (英語).
  • Routh's Theorem by Cross Products at MathPages
  • Ayoub, Ayoub B. (2011/2012) "Routh's theorem revisited", Mathematical Spectrum 44 (1): 24-27.