ウィーナー＝ヒンチンの定理

ウィーナー＝ヒンチンの定理（英: Wiener–Khinchin theorem）は、広義定常確率過程のパワースペクトル密度が、対応する自己相関関数のフーリエ変換であることを示した定理。ヒンチン＝コルモゴロフの定理（Khinchine-Kolmogorov theorem）とも。

定義

連続の場合

確率過程 ${\displaystyle x(t)\,}$ が連続の場合、そのパワースペクトル密度${\displaystyle S_{xx}(f)\ }$は、

${\displaystyle S_{xx}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }r_{xx}(\tau )e^{-j2\pi f\tau }\ d\tau }$

である。ただし、自己相関関数${\displaystyle r_{xx}(\tau )}$は、統計的期待値${\displaystyle \operatorname {E} {\big [}\,\,{\big ]}\ }$を使い、

${\displaystyle r_{xx}(\tau )=\operatorname {E} {\big [}\,x(t)x^{*}(t-\tau )\,{\big ]}\ }$

と定義する。ここで、アスタリスク${\displaystyle ^{*}}$は複素共役を意味し、確率過程が実数値に関するものである場合は省略可能である。

また、定常確率関数は二乗可積分ではないので、一般に ${\displaystyle x(t)\,}$ のフーリエ変換は存在しない。

離散の場合

関数の離散値 ${\displaystyle x[n]\,}$ についてのパワースペクトル密度${\displaystyle S_{xx}(f)\ }$は、

${\displaystyle S_{xx}(f)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }r_{xx}[k]e^{-j2\pi fk}}$

となる。ここで、自己相関関数${\displaystyle r_{xx}(\tau )}$は、

${\displaystyle r_{xx}[k]=\operatorname {E} {\big [}\,x[n]x^{*}[n-k]\,{\big ]}\ }$

である。

標本化された離散時間シーケンスであるため、スペクトル密度${\displaystyle S_{xx}(f)\ }$は周波数領域で周期性がある。（サンプリング定理）

応用

信号の自己相関関数のフーリエ変換が、信号のパワースペクトル密度だということは、出力のパワースペクトル密度が入力のパワースペクトル密度にパワー伝達関数をかけたものに等しいことを意味する。

線型時不変系（LTIシステム）で入力と出力が二乗可積分でない場合、すなわちフーリエ変換が存在しない場合、その解析にこの定理が利用される。出力のパワースペクトル密度は、システムのインパルス応答のフーリエ変換の平方を、システムの入力のパワースペクトル密度をかけたものと等しい。この関係は、システムのパワースペクトル密度の予測に使われる。

その他の定義

スペクトル密度や自己相関の記事にあるような無限積分を使った定義によれば、ウィーナー＝ヒンチンの定理は単純なフーリエ変換の対であり、フーリエ変換のある二乗可積分な関数なら容易に証明できる。この定理はフーリエ変換の存在しない信号の定常過程に適用されることが多く、その自己相関関数は無限積分ではなく期待値を使って定義されることが多い。工学分野ではこのような形式で表すことが多いが、そうすると名前の由来であるアレクサンダー・ヒンチン、ノーバート・ウィーナー、アンドレイ・コルモゴロフの貢献がよくわからなくなる。

参考文献

• Chapter 6 of Digital and Analog Communications Systems by Leon W. Couch II, Sixth Edition, Prentice Hall, New Jersey, 2001, pp. 406-409

表 話 編 歴 確率論
確率の歴史	アンドレイ・コルモゴロフ トーマス・ベイズ アンドレイ・マルコフ ジョゼフ・L・ドゥーブ 伊藤清
確率の定義	客観確率 統計的確率 古典的確率 公理的確率 主観確率 ベイズ確率 確率の拡張 外確率 負の確率
基礎概念	モデル 試行 結果 事象 標本空間 確率測度 確率空間 確率変数 確率変数の収束 確率分布 離散確率分布 連続確率分布 同時分布 周辺分布 条件付き確率分布 独立同分布 関数 確率質量関数 確率密度関数 累積分布関数 特性関数 用語 独立 期待値 モーメント 条件付き確率 条件付き期待値
確率の解釈	ベルトランの逆説 3囚人問題 モンティ・ホール問題 サンクトペテルブルクのパラドックス 合接の誤謬 ギャンブラーの誤謬
問題	壺問題 クーポンコレクター問題
法則・定理	ベイズの定理 大数の法則 中心極限定理 コルモゴロフの0-1法則 デ・フィネッティの定理 ウィーナー＝ヒンチンの定理
測度論	確率測度の拡張 カラテオドリの拡張定理 E.ホップの拡張定理 コルモゴロフの拡張定理 ヴィタリの収束定理 ルベーグの優収束定理 ラプラス原理 スコロホッドの表現定理
確率微分方程式	伊藤の補題
確率過程	独立増分過程 定常過程 マルチンゲール マルコフ過程 マルコフ性 マルコフ連鎖 マルコフ決定過程 部分観測マルコフ決定過程 マルコフ再生過程 ウィーナー過程 ブラウン運動 幾何ブラウン運動 非整数ブラウン運動 ベルヌーイ過程 ガウス過程 自己相似過程 経験過程 中華料理店過程 オルンシュタイン＝ウーレンベック過程
情報量	最大エントロピー原理 交差エントロピー 結合エントロピー カルバック・ライブラー情報量 相互情報量
応用	数理ファイナンス ブラック–ショールズ方程式 確率的ボラティリティモデル 系統学 ベイズ法
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