Nel 1953papa Pio XII lo nominò nunzio apostolico in Cile, ove rimase per sei anni, affiancando l'episcopato del Cile nella promozione di varie iniziative pastorali, specialmente in aiuto alle popolazioni più bisognose. Nel 1959 fu nominato delegato apostolico in Canada, dove visitò tutte le diocesi, curando in modo speciale l'assistenza agli immigrati portoghesi e italiani; nel 1964 divenne nunzio apostolico in Brasile, e in questa immensa nazione svolse un'attività intensa, promuovendo l'erezione di diciassette nuove diocesi e visitando le zone più povere e disagiate e aiutando in ogni modo i missionari.
Nel 1969, durante il concistoro pubblico per la creazione dei nuovi cardinali di Santa Romana Chiesa, Paolo VI lo elevò a cardinale e fu il porporato italiano più giovane fino alla creazione del cardinale Salvatore Pappalardo. Fu nominato poi, dallo stesso pontefice, arcivescovometropolita di Cagliari e ricevette il pallio.
Nei due conclavi del 1978 fu considerato "papabile" da alcuni giornalisti, ma lui considerava la cosa improbabile.
Lo scrittore David Yallop riferisce nel suo libro "in nome di dio" di un suo aspro litigio con Albino Luciani, Giovanni Paolo I, perché rifiutava la decisione del Papa di trasferirlo ad altri incarichi.
Tale litigio, avvenuto la sera prima della morte del pontefice, è riportato anche da don Charles Theodore Murr, segretario del cardinale canadese Édouard Joseph Gagnon, incaricato da Paolo VI di condurre una Visita Apostolica presso la Curia romana onde accertare la veridicità delle accuse mosse dai cardinali Dino Staffa e Silvio Oddi al cardinale Baggio e a monsignor Annibale Bugnini, sospettati di essere affiliati alla massoneria. I risultati dell’inchiesta, raccolti in tre volumi, furono presentati a Paolo VI, il quale - sentendosi prossimo alla fine - pregò il Visitatore di custodirli e consegnarli al suo successore. La decisione di Giovanni Paolo I di trasferire il cardinale Baggio alla sede di Venezia (appena liberata dall'elezione di Luciani a pontefice), fermamente rifiutata dal cardinale Baggio, parrebbe legata alle informazioni raccolte durante l'inchiesta svolta dal Visitatore[3].