Indice di concentrazione di Gini

In statistica, l'indice di concentrazione di Gini è un indicatore che offre una misura della concentrazione di variabili quantitative trasferibili.

Esempio

Esempio: il Reddito è una variabile trasferibile (da un elemento all'altro della popolazione), mentre la statura non è trasferibile. L'indice di Gini fornisce un metodo per quantificare la concentrazione del Reddito ed è così definito (viene direttamente riportata la formula del rapporto di concentrazione di Gini, ossia l'indice normalizzato):

R G = ∑ i = 1 n − 1 ( P i − Q i ) ∑ i = 1 n − 1 P i , {\displaystyle {\mathit {R_{G}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n-1}\left(P_{i}-Q_{i}\right)}{\sum _{i=1}^{n-1}P_{i}}},}

dove Q i {\displaystyle Q_{i}} sono le percentuali cumulate di T {\displaystyle T} (Reddito) e P i {\displaystyle P_{i}} sono le percentuali cumulate di T {\displaystyle T} in caso di equidistribuzione.

Pertanto si ha:

Q i = ∑ j = 1 i x j T {\displaystyle {\mathit {Q_{i}}}={\frac {\sum _{j=1}^{i}x_{j}}{T}}} e P i = i n , {\displaystyle {\mathit {P_{i}}}={\frac {i}{n}},}

dove gli x j {\displaystyle x_{j}} sono i dati osservati e la sommatoria va fino alla i {\displaystyle i} -esima modalità di X {\displaystyle X} .

L'indice è già normalizzato, in quanto la sommatoria dei P i {\displaystyle P_{i}} è il massimo dell'indice, dato che, in caso di distribuzione massimante (massima concentrazione): Q i = 0 {\displaystyle Q_{i}=0} , per i = 1 , … , n − 1 {\displaystyle i=1,\ldots ,n-1} .

Il minimo invece è 0 {\displaystyle 0} perché, in caso di minima concentrazione, P i = Q i {\displaystyle P_{i}=Q_{i}} e di conseguenza:

P i − Q i = 0 ∀ i , i = 1 , … , n − 1. {\displaystyle P_{i}-Q_{i}=0\qquad \forall \;i,i=1,\ldots ,n-1.}

Formula rapida per il calcolo del rapporto di concentrazione di Gini

R G = ∑ i = 1 n − 1 P i − ∑ i = 1 n − 1 Q i ∑ i = 1 n − 1 P i = {\displaystyle {R_{G}}={\frac {\sum _{i=1}^{n-1}P_{i}-\sum _{i=1}^{n-1}Q_{i}}{\sum _{i=1}^{n-1}P_{i}}}=} 1 − ∑ i = 1 n − 1 Q i ∑ i = 1 n − 1 P i = {\displaystyle 1-{\frac {\sum _{i=1}^{n-1}Q_{i}}{\sum _{i=1}^{n-1}P_{i}}}=} 1 − 2 ∑ i = 1 n − 1 Q i n − 1 . {\displaystyle 1-2{{\sum _{i=1}^{n-1}Q_{i}} \over {n-1}}.}

Questo perché:

P i = i n ⇒ ∑ i = 1 n − 1 i n = {\displaystyle P_{i}={\frac {i}{n}}\Rightarrow \sum _{i=1}^{n-1}{\frac {i}{n}}=} 1 n ⋅ ∑ i = 1 n − 1 i = {\displaystyle {\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n-1}i=} 1 n ⋅ n ( n − 1 ) 2 = {\displaystyle {\frac {1}{n}}\cdot {\frac {n\left(n-1\right)}{2}}=} n − 1 2 . {\displaystyle {\frac {n-1}{2}}.}

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