Funzione cubica

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Polinomio di terzo grado

In matematica per funzione cubica si intende una funzione data da un'espressione della forma

f ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d , {\displaystyle f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d,}

dove a è un numero reale o complesso diverso da zero; in altre parole una funzione cubica è una funzione data da un polinomio di terzo grado. La derivata di una funzione cubica è una funzione quadratica, mentre l'integrale indefinito di una funzione cubica è una funzione di quarto grado.

Derivata e punti critici

La derivata della funzione cubica, f ′ ( x ) = 3 a x 2 + 2 b x + c {\displaystyle f'(x)=3ax^{2}+2bx+c} e la richiesta f ′ ( x ) = 0 {\displaystyle f'(x)=0} implicano

x = − b ± b 2 − 3 a c   3 a {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-3ac\ }}}{3a}}} .

Questa espressione simile alla formula per la soluzione dell'equazione quadratica, può essere usata per trovare i punti critici di una funzione cubica. Si trova quindi che

se b 2 − 3 a c > 0 {\displaystyle b^{2}-3ac>0\,} , allora la funzione cubica ha due punti critici, un massimo locale e un minimo locale;
se b 2 − 3 a c < 0 {\displaystyle b^{2}-3ac<0} , allora non vi sono punti critici.
se b 2 − 3 a c = 0 {\displaystyle b^{2}-3ac=0} , allora non vi sono estremanti, ma vi è un punto di flesso in − b / 3 a {\displaystyle -b/3a}

Cubiche bipartite

La curva di equazione

y 2 = x ( x − a ) ( x − b ) {\displaystyle y^{2}=x(x-a)(x-b)} dove 0 < a < b {\displaystyle 0<a<b}

viene chiamata cubica bipartita. Essa si incontra nella teoria delle curve ellittiche.

Si può ottenere il suo grafico con qualche strumento per la raffigurazione delle funzioni reali applicato alla funzione

g ( x ) = x ( x − a ) ( x − b ) {\displaystyle g(x)={\sqrt {x(x-a)(x-b)}}}

corrispondente alla metà superiore della cubica bipartita. Essa è definita nell'insieme dell'asse reale

( 0 , a ) ∪ ( b , + ∞ ) . {\displaystyle (0,a)\cup (b,+\infty ).}

Formula per le radici

La formula generale che consente di trovare i valori esatti delle radici delle funzioni cubiche è piuttosto complicata. Quindi può essere opportuno servirsi in alternativa del test della radice razionale o ricercare una soluzione numerica.

Riferiamoci alle costanti che compaiono nell'espressione

f ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d = a ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ( x − x 3 ) {\displaystyle f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d=a(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})}

Valutiamo

q = 3 a c − b 2 9 a 2 {\displaystyle q={\frac {3ac-b^{2}}{9a^{2}}}} e
r = 9 a b c − 27 a 2 d − 2 b 3 54 a 3 {\displaystyle r={\frac {9abc-27a^{2}d-2b^{3}}{54a^{3}}}}

e successivamente

s = r 2 + q 3 27 + r 2 4 3 {\displaystyle s={\sqrt[{3}]{{\frac {r}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{3}}{27}}+{\frac {r^{2}}{4}}}}}}} e
t = r 2 − q 3 27 + r 2 4 3 {\displaystyle t={\sqrt[{3}]{{\frac {r}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{3}}{27}}+{\frac {r^{2}}{4}}}}}}} .

Le soluzioni sono date da

x 1 = s + t − b 3 {\displaystyle x_{1}=s+t-{\frac {b}{3}}}
x 2 = − 1 2 ( s + t ) − b 3 + 3 2 ( s − t ) i {\displaystyle x_{2}=-{\frac {1}{2}}(s+t)-{\frac {b}{3}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}(s-t)i}
x 3 = − 1 2 ( s + t ) − b 3 − 3 2 ( s − t ) i {\displaystyle x_{3}=-{\frac {1}{2}}(s+t)-{\frac {b}{3}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}(s-t)i}

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Collegamenti esterni

  • (EN) Eric W. Weisstein, Funzione cubica, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
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