Forma canonica di Jordan

Disambiguazione – "decomposizione di Jordan" rimanda qui. Se stai cercando la decomposizione di una misura con segno, vedi Teorema di decomposizione di Hahn.

In matematica, più precisamente in algebra lineare, la forma canonica di Jordan di una matrice quadrata ${\displaystyle A}$ è una matrice triangolare J simile ad A che ha una struttura il più possibile vicina ad una matrice diagonale. La matrice è diagonale se e solo se ${\displaystyle A}$ è diagonalizzabile, altrimenti è divisa in blocchi detti blocchi di Jordan.^[1]

La forma canonica caratterizza univocamente la classe di similitudine di una matrice. In altre parole, due matrici sono simili se e solo se hanno la stessa forma di Jordan (a meno di permutazione dei blocchi).

Il nome è dovuto al matematico francese Camille Jordan che si è occupato di matrici diagonalizzabili.

Un blocco di Jordan di ordine ${\displaystyle k}$ è una matrice triangolare superiore con ${\displaystyle k}$ righe costituita nel seguente modo:

${\displaystyle J_{k}(\lambda ):={\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\ddots &\ddots &&\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &0\\\vdots &&\ddots &\ddots &1\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda \end{pmatrix}}}$

in cui ogni elemento della diagonale è uguale a ${\displaystyle \lambda }$ ed in ogni posizione ${\displaystyle (i,i+1)}$ si trova un 1. Il suo polinomio caratteristico è ${\displaystyle (x-\lambda )^{k}}$, e quindi ha ${\displaystyle \lambda }$ come unico autovalore con la molteplicità algebrica ${\displaystyle k}$. D'altra parte, l'autospazio relativo a ${\displaystyle \lambda }$ è:

${\displaystyle \ker(J_{k}(\lambda )-\lambda I)=\ker {\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&\ddots &\ddots &&\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &0\\\vdots &&\ddots &\ddots &1\\0&\cdots &\cdots &0&0\end{pmatrix}}={\text{Span}}{\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots \\\vdots \\0\end{pmatrix}}}$

avente, quindi, dimensione 1. Dal teorema di diagonalizzabilità segue che se ${\displaystyle k>1}$ il blocco di Jordan non è diagonalizzabile.

Una matrice in forma canonica di Jordan o matrice di Jordan è una matrice diagonale a blocchi di Jordan, cioè del tipo:

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}J_{1}&&0\\&\ddots &\\0&&J_{k}\end{pmatrix}}}$

dove ${\displaystyle J_{i}}$ è un blocco di Jordan con autovalore ${\displaystyle \lambda _{i}}$. Ogni blocco di Jordan contribuisce con un autospazio unidimensionale relativo a ${\displaystyle \lambda _{i}}$.

La molteplicità geometrica di ${\displaystyle \lambda _{i}}$, definita come la dimensione del relativo autospazio, è pari al numero di blocchi con autovalore ${\displaystyle \lambda _{i}}$. D'altra parte, la molteplicità algebrica di ${\displaystyle \lambda _{i}}$, definita come la molteplicità della radice ${\displaystyle \lambda _{i}}$ nel polinomio caratteristico di ${\displaystyle J}$, è pari alla somma degli ordini di tutti i blocchi con autovalore ${\displaystyle \lambda _{i}}$.

In questo contesto, il teorema di diagonalizzabilità asserisce, quindi, che ${\displaystyle J}$ è diagonalizzabile se e solo se le molteplicità algebriche e geometriche coincidono, ovvero se e solo se i blocchi hanno tutti ordine pari ad 1: in altre parole, ${\displaystyle J}$ è diagonalizzabile se e solo se è già diagonale.

Si dice che una matrice quadrata ${\displaystyle A}$ con elementi in un campo ${\displaystyle K}$ ha "tutti gli autovalori nel campo" se la somma delle molteplicità algebriche dei suoi autovalori è pari al numero di righe di ${\displaystyle A}$. Questo equivale a dire che il suo polinomio caratteristico ha "tutte le radici nel campo", cioè che si spezza come prodotto di polinomi di primo grado. Questo è sempre vero se ${\displaystyle K}$ è algebricamente chiuso, ad esempio se ${\displaystyle K}$ è il campo dei numeri complessi.

Il teorema di Jordan asserisce che ogni matrice ha una "forma canonica di Jordan", e che due matrici sono simili se e solo se hanno la stessa forma canonica:

• Sia ${\displaystyle A}$ una matrice quadrata con elementi in ${\displaystyle K}$ avente tutti gli autovalori nel campo. Allora ${\displaystyle A}$ è simile ad una matrice di Jordan.
• Due matrici di Jordan ${\displaystyle J}$ e ${\displaystyle J'}$ sono simili se e solo se si ottengono l'una dall'altra permutando i blocchi.

Si vuole calcolare la forma canonica di Jordan della matrice

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}5&4&2&1\\0&1&-1&-1\\-1&-1&3&0\\1&1&-1&2\\\end{pmatrix}}}$

Il suo polinomio caratteristico è ${\displaystyle (x-4)^{2}(x-2)(x-1)}$, quindi i suoi autovalori sono 4, 4, 2 e 1. Si ricorda che, se si indica con ${\displaystyle m_{\text{alg}}(\lambda )}$ e ${\displaystyle m_{\text{geo}}(\lambda )}$ le molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore ${\displaystyle \lambda }$, valgono sempre le seguenti disuguaglianze:

${\displaystyle 1\leq m_{\text{geo}}(\lambda )\leq m_{\text{alg}}(\lambda )}$

Quindi in questo caso le molteplicità algebriche e geometriche degli autovalori 2 e 1 sono tutte 1, e l'unica grandezza da trovare è la molteplicità geometrica di 4, che può essere 1 o 2. La molteplicità geometrica di un autovalore indica il numero di blocchi di Jordan presenti relativi a quell'autovalore. Si vede che:

${\displaystyle \dim \ker(A-4I)=1}$

Segue quindi che ${\displaystyle A}$ non è diagonalizzabile, e l'autovalore 4 ha un solo blocco di Jordan. I dati in possesso sono sufficienti a determinare la matrice di Jordan, che è la seguente:

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}4&1&0&0\\0&4&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$

Il polinomio minimo ${\displaystyle m(x)}$ di una matrice ${\displaystyle A}$ è calcolabile a partire dalla sua forma di Jordan ${\displaystyle J}$. Infatti si decompone come:

${\displaystyle m(x)=(x-\lambda _{1})^{j_{1}}\cdots (x-\lambda _{k})^{j_{k}}}$

dove ${\displaystyle \lambda _{1}\dots \lambda _{k}}$ sono gli autovalori (distinti, cioè elencati senza molteplicità) di ${\displaystyle A}$, e ${\displaystyle j_{i}}$ è l'ordine del blocco di Jordan più grande fra tutti quelli relativi all'autovalore ${\displaystyle \lambda _{i}}$.

Ad esempio, la seguente matrice:

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}3&1&0&0\\0&3&1&0\\0&0&3&0\\0&0&0&3\end{pmatrix}}}$

ha ${\displaystyle (x-3)^{4}}$ come polinomio caratteristico e ${\displaystyle (x-3)^{3}}$ come polinomio minimo.

Usando il teorema di Jordan e la decomposizione del polinomio minimo enunciata, si ha che le due matrici

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}3&1&0&0\\0&3&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&3\end{pmatrix}},\quad B={\begin{pmatrix}3&1&0&0\\0&3&0&0\\0&0&3&1\\0&0&0&3\end{pmatrix}}}$

hanno gli stessi polinomi caratteristici (e quindi anche lo stesso determinante, la stessa traccia e gli stessi autovalori), gli stessi polinomi minimi, ma non sono simili.

• (EN) Nelson Dunford e Jacob T. Schwartz, Linear Operators, Part 1: General Theory, Interscience, 1958, ISBN 0-471-60848-3.
• (EN) Daniel T. Finkbeiner II, Introduction to Matrices and Linear Transformations, Freeman, 1978.
• Letterio Gatto, Un'introduzione amichevole alla forma canonica di Jordan, CLUT, 1998, ISBN 88-7992-139-8.
• (EN) Gene H. Golub e Charles F. Van Loan, Matrix Computations, 3ª ed., Johns Hopkins University Press, 1996.
• (EN) Gene H. Golub e J. H. Wilkinson, Ill-Conditioned Eigensystems and the Computation of the Jordan Canonical Form, in SIAM Review, vol. 18, n. 4, 1976, pp. 578-619, DOI:10.1137/1018113.
• (EN) Igor' R. Šafarevič e Alexey O. Remizov, Linear Algebra and Geometry, Springer, 2013, ISBN 978-3-642-30993-9.

• Autovettore e autovalore
• Decomposizione di una matrice
• Diagonalizzabilità
• Matrice diagonale
• Matrice quadrata
• Matrice triangolare
• Polinomio caratteristico
• Polinomio minimo
• Similitudine tra matrici

• (EN) Eric W. Weisstein, Forma canonica di Jordan, su MathWorld, Wolfram Research.

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