Dodecadodecaedro camuso invertito

Dodecadodecaedro camuso invertito
TipoPoliedro stellato uniforme
Forma facce60 triangoli
12 pentagoni
12 pentagrammi
Nº facce84
Nº spigoli150
Nº vertici60
Caratteristica di Eulero-6
Incidenza dei vertici3.3.5.3.5/3
Notazione di Wythoff| 5/3 2 5
Notazione di Schläflisr{5/3,5}
Diagramma di Coxeter-Dynkin
Gruppo di simmetriaI, [5,3]+, 532
DualeEsacontaedro pentagonale medio invertito
ProprietàNon convessità
Politopi correlati
Figura al vertice
Poliedro duale
Manuale

In geometria, il dodecadodecaedro camuso invertito è un poliedro stellato uniforme avente 84 facce - 60 triangolari, 12 pentagonali e 12 a forma di pentagramma - 150 spigoli e 60 vertici.[1]

Coordinate cartesiane

Le coordinate cartesiane per i vertici del dodecadodecaedro camuso invertito, spesso indicato con il simbolo U60 e il cui inviluppo convesso è un dodecaedro camuso non uniforme, sono date da tutte le permutazioni pari di:

( ± 2 α , ± 2 , ± 2 β ) {\displaystyle \left(\,\pm 2\alpha ,\,\pm 2,\,\pm 2\beta \,\right)}
( ± ( α + β φ − 1 + φ ) , ± ( − α φ + β + φ − 1 ) , ± ( α φ − 1 + β φ − 1 ) ) {\displaystyle \left(\,\pm (\alpha +\beta \varphi ^{-1}+\varphi ),\,\pm (-\alpha \varphi +\beta +\varphi ^{-1}),\,\pm (\alpha \varphi ^{-1}+\beta \varphi -1)\,\right)}
( ± ( − α φ − 1 + β φ + 1 ) , ± ( − α + β φ − 1 − φ ) , ± ( α φ + β − φ − 1 ) ) {\displaystyle \left(\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}+\beta \varphi +1),\,\pm (-\alpha +\beta \varphi ^{-1}-\varphi ),\,\pm (\alpha \varphi +\beta -\varphi ^{-1})\,\right)}
( ± ( − α φ − 1 + β φ − 1 ) , ± ( α − β φ − 1 − φ ) , ± ( α φ + β + φ − 1 ) ) {\displaystyle \left(\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}+\beta \varphi -1),\,\pm (\alpha -\beta \varphi ^{-1}-\varphi ),\,\pm (\alpha \varphi +\beta +\varphi ^{-1})\,\right)}
( ± ( α + β φ − 1 − φ ) , ± ( α φ − β + φ − 1 ) , ± ( α φ − 1 + β φ + 1 ) ) {\displaystyle \left(\,\pm (\alpha +\beta \varphi ^{-1}-\varphi ),\,\pm (\alpha \varphi -\beta +\varphi ^{-1}),\,\pm (\alpha \varphi ^{-1}+\beta \varphi +1)\,\right)}

con un numero pari di segni più, dove φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} è la sezione aurea, α ≈ − 0 , 3352090 {\displaystyle \alpha \approx -0,3352090} è la radice reale negativa dell'equazione l'unica soluzione reale dell'equazione φ α 4 − α 3 + 2 α 2 − α − 1 φ = 0 {\displaystyle \varphi \alpha ^{4}-\alpha ^{3}+2\alpha ^{2}-\alpha -{\frac {1}{\varphi }}=0} e β = α 2 φ − 1 + φ α φ − φ − 1 . {\displaystyle \beta ={\frac {\alpha ^{2}\varphi ^{-1}+\varphi }{\alpha \varphi -\varphi ^{-1}}}.}

Poliedri correlati

Esacontaedro pentagonale medio invertito

Esacontaedro pentagonale medio invertito
TipoPoliedro stellato
Forma faccePentagoni irregolari
Nº facce60
Nº spigoli150
Nº vertici84
Caratteristica di Eulero-6
Gruppo di simmetriaI, [5,3]+, 532
DualeDodecadodecaedro camuso invertito
Manuale

L'esacontaedro pentagonale medio invertito è un poliedro stellato isoedro, nonché il duale del dodecadodecaedro camuso invertito, avente per facce 60 pentagoni irregolari non convessi.[2]

Dato un dodecadodecaedro camuso invertito di spigolo pari a 1, immaginando l'esacontaedro pentagonale medio invertito come composto da 60 facce intersecanti a forma di pentagono irregolare non convesso, come riportato nella figura sottostante, di cui solo una parte visibile all'esterno del solido, e considerando la già citata sezione aurea e il numero ξ ≈ − 0 , 236 993 843 45 {\displaystyle \xi \approx -0,236\,993\,843\,45} - radice maggiore del polinomio P = 8 x 4 − 12 x 3 + 5 x + 1 {\displaystyle P=8x^{4}-12x^{3}+5x+1} - ogni faccia risulta avere tre angoli uguali di ampiezza pari a arccos ⁡ ( ξ ) ≈ 103 , 709 182 219 53 ∘ {\displaystyle \arccos(\xi )\approx 103,709\,182\,219\,53^{\circ }} , un angolo ampio arccos ⁡ ( ϕ 2 ξ + ϕ ) ≈ 3 , 990 130 423 41 ∘ {\displaystyle \arccos(\phi ^{2}\xi +\phi )\approx 3,990\,130\,423\,41^{\circ }} e uno ampio 360 ∘ − arccos ⁡ ( ϕ − 2 ξ − ϕ − 1 ) ≈ 224 , 882 322 917 99 ∘ {\displaystyle 360^{\circ }-\arccos(\phi ^{-2}\xi -\phi ^{-1})\approx 224,882\,322\,917\,99^{\circ }} , con due lati corti di lunghezza pari a 1 − 1 − ξ ϕ 3 − ξ ≈ 0 , 474 126 460 54 , {\displaystyle 1-{\sqrt {\frac {1-\xi }{\phi ^{3}-\xi }}}\approx 0,474\,126\,460\,54,} due più grandi di lunghezza pari a 1 + 1 − ξ ϕ − 3 − ξ ≈ 37 , 551 879 448 54 {\displaystyle 1+{\sqrt {\frac {1-\xi }{\phi ^{-3}-\xi }}}\approx 37,551\,879\,448\,54} e due medi di lunghezza pari a 2.

Note

  1. ^ Roman Maeder, 60: inverted snub dodecadodecahedron, su Mathconsult. URL consultato il 24 marzo 2024.
  2. ^ Magnus J. Wenninger, Dual Models, Cambridge University Press, 2004, pp. 124. URL consultato il 20 marzo 2024.

Collegamenti esterni

  • (EN) Eric W. Weisstein, Esacontaedro pentagonale medio invertito, in MathWorld, Wolfram Research. URL consultato il 20 marzo 2024.
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