distribuzione non centrale |
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Funzione di densità di probabilità
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Funzione di ripartizione
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Parametri | (gradi di libertà)
non centralità |
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Supporto | |
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Funzione di densità | |
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Funzione di ripartizione | |
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Valore atteso | |
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Varianza | |
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Indice di asimmetria | |
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Curtosi | |
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Funzione generatrice dei momenti | per |
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Funzione caratteristica | |
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Manuale |
In teoria delle probabilità una distribuzione
non centrale (chi quadrato, o chi quadro), è una distribuzione di probabilità che generalizza la distribuzione
, descrivendo la somma dei quadrati di variabili aleatorie con distribuzioni normali ridotte ma non centrate.
In statistica viene impiegata per l'analisi della varianza e per alcuni test di verifica d'ipotesi.
Definizione
La distribuzione
descrive la variabile aleatoria
,
dove
sono variabili aleatorie variabili indipendenti aventi distribuzioni normali ridotte (ma non necessariamente centrate)
, i cui valori attesi soddisfano
.
Il parametro k è detto numero di gradi di libertà e
è il parametro di non centralità. (La notazione per
non è uniforme: alcuni autori prendono
pari alla metà, oppure alla radice quadrata di questa somma.)
In particolare, per
le variabili
sono centrate e si ottiene nuovamente la distribuzione χ2:
![{\displaystyle \chi ^{2}(k,0)=\chi ^{2}(k)\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27245d094d121d678f50453e77a4dff72ea9addc)
È possibile definire la distribuzione χ2 non centrale anche tramite variabili aleatorie indipendenti
di distribuzione normale standard
, prendendo
, ovvero
.
Indipendenza di λ
La distribuzione
dipende da λ e non dai singoli valori μi.
Sullo spazio euclideo di dimensione k, infatti, si possono considerare i vettori
;
la distribuzione di probabilità del vettore normale multivariato
è isotropa, ovvero invariante per isometria. In particolare la variabile aleatoria
, che è il quadrato della norma di
, dipende dalle
solo in termini della norma di
, ovvero
.
Proprietà
Somma
Per definizione, la somma di variabili aleatorie di distribuzioni χ2 non centrali è ancora una variabile aleatoria di distribuzione χ2 non centrale (somma dei quadrati di variabili normali ridotte).
Più precisamente, la somma di due variabili aleatorie con distribuzioni
e
è una variabile aleatoria con distribuzione
, con
e
.
Mistura di distribuzioni χ2
La distribuzione χ2 non centrale può essere espressa come mistura di distribuzioni χ2, pesate secondo la distribuzione di Poisson.
In altri termini è la distribuzione di una variabile aleatoria Z, dipendente da una variabile aleatoria J di legge di Poisson
, con distribuzione condizionata di Z rispetto a J data da
.
In particolare di χ2(k,λ) si possono descrivere
- la densità di probabilità
![{\displaystyle f_{k,\lambda }=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda /2}(\lambda /2)^{j}}{j!}}f_{k+2j,0}(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0e3fa4a3a552a006f46351ff9f232a854e8ebad)
- e la funzione di ripartizione
![{\displaystyle F_{k,\lambda }=\sum _{j=0}^{\infty }e^{-\lambda /2}{\frac {(\lambda /2)^{j}}{j!}}F_{k+2j,0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18b5b74d70d4423ed5d84800cc577bad9ac201cb)
tramite la densità di probabilità
e la funzione di ripartizione
delle distribuzioni χ2(k+2j).
Caratteristiche
La funzione generatrice dei momenti della distribuzione χ2(k,λ) non centrale è
![{\displaystyle g(t)=E[e^{t}Z]={\frac {e^{\lambda t/(1-2t)}}{(1-2t)^{k/2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cacd609681a30a9254ebc03bf105d85dc67f84a)
I primi momenti semplici della distribuzione sono
![{\displaystyle \mu '_{1}=k+\lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6a6e2f2f04e019bdc9b392bf756fa08907421ee)
![{\displaystyle \mu '_{2}=(k+\lambda )^{2}+2(k+2\lambda )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd9cfafe6a27b5e5245ba836bcd4d2a2257be748)
![{\displaystyle \mu '_{3}=(k+\lambda )^{3}+6(k+\lambda )(k+2\lambda )+8(k+3\lambda )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/680052d0ef2fb41679e7f75e99d463d5a02083ec)
![{\displaystyle \mu '_{4}=(k+\lambda )^{4}+12(k+\lambda )^{2}(k+2\lambda )+4(11k^{2}+44k\lambda +36\lambda ^{2})+48(k+4\lambda )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6833ca84d3946c14ad9dd4c48d29cbca55c22211)
e i suoi primi momenti centrali sono
![{\displaystyle \mu _{2}=2(k+2\lambda )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f611667464893c7dd92ecea9d008182c5dc15a9)
![{\displaystyle \mu _{3}=8(k+3\lambda )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe735e4ce12838149494c5f122b179e042ebc4c1)
![{\displaystyle \mu _{4}=12(k+2\lambda )^{2}+48(k+4\lambda )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca87364e43d62a61ba3681b247822de25bd19e34)
La funzione caratteristica di χ2(k,λ) è [1]
.
Densità di probabilità
La densità di probabilità
della distribuzione χ2(k,λ) non centrale può essere descritta tramite altre formule.
Una formula alternativa è
![{\displaystyle f_{k,\lambda }={\frac {1}{2}}e^{-(x+\lambda )/2}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k/4-1/2}I_{k/2-1}({\sqrt {\lambda x}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b33f0c724b0937a87f033987fc6691c8f79a1c3)
dove
![{\displaystyle I_{a}(y):=(y/2)^{a}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(y^{2}/4)^{j}}{j!\Gamma (a+j+1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bededa657fbda10c07a791064a551bff714807e7)
è una funzione di Bessel del primo tipo, modificata.
Una terza formula è [2]
per ![{\displaystyle x>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80d24be5f0eb4a9173da6038badc8659546021d0)
Funzione di ripartizione
Questa voce o sezione sull'argomento matematica è ritenuta da controllare.
Motivo: Lo n nella formula non ha senso. Da controllare anche che sia il λ giusto.
Anche la funzione di ripartizione
della distribuzione χ2(k,λ) non centrale può essere descritta tramite altre formule. In particolare in statistica sono stati proposti alcuni metodi per cercare di calcolarne alcuni valori
.
Una formula ricorsiva, basata sulla funzione di ripartizione della distribuzione χ2 (centrale) è [3]
![{\displaystyle \textstyle F_{k,\lambda }(x)=F_{{\frac {n}{2}},0}(x)+\sum _{r>0}P_{r}({\frac {x}{2}})\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/840de37eebb0a9cce803e3d53f3f2e9a59e5fa34)
dove
![{\displaystyle \textstyle P_{0}(x)=0\qquad P_{1}(x)={\frac {\lambda }{2}}{\frac {e^{-x}x^{n/2}}{\Gamma (n/2+1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8184c2fbe77c52a63780089d689fd402c0bfdc3c)
![{\displaystyle \textstyle P_{r}(x)={\frac {\lambda ^{2}}{4}}{\frac {2(r-2)}{r(r-1)(n/2+r-1)}}P_{r-2}(x)-{\frac {\lambda }{2}}{\frac {n/2+2r-3-x}{r(n/2+r-1)}}P_{r-1}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0359cd3eb687ad4d39945a6a70f7a8232255de19)
Valori approssimati si possono invece ottenere tramite la distribuzione Gamma e i primi due[4] o tre[5] momenti, oppure tramite la distribuzione normale.[6]
Distribuzioni non centrali
Utilizzando la distribuzione χ2 non centrale come generalizzazione della distribuzione χ2 (centrale) è possibile definire versioni non centrali delle distribuzioni t di Student, F di Fisher-Snedecor e Beta.
Note
- ^ (EN) M.A. Sanders, Characteristic function of the noncentral chi-square distribution (PDF), su planetmathematics.com. URL consultato il 7 marzo 2009 (archiviato dall'url originale il 15 luglio 2011).
- ^ D. Kerridge, Gives a very interesting probabilistic derivation, in Aust. J. Statist., 1965.
- ^ M. L. Tiku, Uses Laguerre polynomials to represent the noncentral chi-quare distribution, in Biometrika, 1965.
- ^ P. B. Patnaik, Points out some interesting geometrical features, in Biometrika, 1949.
- ^ E. Pearson, Studies the accuracy of the three-moment chi-square approximation, in Biometrika, 1959.
- ^ S. Abdel-Aty, Gives various Cornish-Fisher-type approximations, in Biometrika, 1954.
Voci correlate
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