Deviazione mediana assoluta

In statistica, la deviazione mediana assoluta misura la dispersione statistica di un campione.

Per un insieme X1, X2, ..., Xn, il valore di MAD è definito come la mediana del valore assoluto delle deviazioni dei dati dalla mediana, ovvero:

MAD = median ⁡ (   | X i − median ⁡ ( X ) |   ) {\displaystyle \operatorname {MAD} =\operatorname {median} \left(\ \left|X_{i}-\operatorname {median} (X)\right|\ \right)}

Esempio

  • Si consideri un insieme (1, 1, 2, 2, 4, 6, 9), che ha un valore mediano di 2.
  • Il valore assoluto dei dati a cui sottraiamo il valore mediano è pari a (1, 1, 0, 0, 2, 4, 7), che ha un valore mediano pari a 1
    • basti considerare il riordinamento dei dati: (0, 0, 1, 1, 2, 4, 7).
    • Il MAD è quindi pari a 1

Usi

La deviazione mediana assoluta è una misura di dispersione. È uno stimatore più robusto della semplice varianza o deviazione standard. Si comporta meglio con distribuzioni senza valor medio o varianza, come la distribuzione di Cauchy. Ad esempio la distribuzione standard di Cauchy ha un valore indefinito di varianza, ma un valore di MAD pari a 1.

Ad esempio il MAD presenta una minore sensibilità agli outliers rispetto alla deviazione standard.

Relazione con la deviazione standard

Si può dimostrare che, nel caso di una distribuzione normale dei dati, i due valori sono correlati da un certo numero:

MAD σ ≈ 0.6745 {\displaystyle {\frac {\operatorname {MAD} }{\sigma }}\approx 0.6745\,}

ovvero:

σ ≈ 1.4826   MAD . {\displaystyle \sigma \approx 1.4826\ \operatorname {MAD} .\,}

Storia

La prima menzione nota del concetto di MAD si ha nel 1816, in un articolo scientifico di Carl Friedrich Gauss sulla determinazione dell'accuratezza delle osservazioni numeriche.[1][2]

Note

  1. ^ Carl Friedrich Gauss, Bestimmung der Genauigkeit der Beobachtungen, in Zeitschrift für Astronomie und verwandt Wissenschaften, vol. 1, 1816, pp. 187–197.
  2. ^ Helen Walker, Studies in the History of the Statistical Method, Baltimore, MD, Williams & Wilkins Co, 1931, pp. 24–25.

Bibliografia

  • (EN) David C. Hoaglin, Frederick Mosteller and John W. Tukey, Understanding Robust and Exploratory Data Analysis, John Wiley & Sons, 1983, pp. 404–414, ISBN 0-471-09777-2.
  • (EN) Roberta S. Russell, Bernard W. Taylor III., Operations Management, John Wiley & Sons, 2006, pp. 497–498, ISBN 0-471-69209-3.
  • (EN) W.N. Venables, B.D. Ripley, Modern Applied Statistics with S-PLUS, Springer, 1999, p. 128, ISBN 0-387-98825-4.

Voci correlate

  • Deviazione standard
  Portale Matematica
  Portale Statistica