Derivata logaritmica

Questa voce o sezione sull'argomento matematica non cita le fonti necessarie o quelle presenti sono insufficienti.

In matematica, e in particolare nel calcolo infinitesimale e nell'analisi complessa, la derivata logaritmica di una funzione ${\displaystyle f(x)}$ derivabile è definita come

${\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}},}$

dove l'apice ′ denota l'operazione di derivazione. Se in particolare ${\displaystyle f(x)}$ è una funzione di una variabile reale che assume valori reali positivi in senso stretto, la derivata logaritmica fornisce anche la derivata del logaritmo della funzione, come si ricava dalla regola di derivazione della funzione composta.

${\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {d}{dx}}\log(f(x)).}$

Formule utilizzabili per il calcolo infinitesimale di base

Prodotto di funzioni:

• ${\displaystyle uv=e^{\ln {u}+\ln {v}}}$
• ${\displaystyle (\ln {uv})'={\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}}$
• ${\displaystyle {\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}={\frac {u'v}{uv}}+{\frac {uv'}{uv}}}$
• ${\displaystyle {\frac {u'v}{uv}}+{\frac {uv'}{uv}}={\frac {u'v+uv'}{uv}}}$
• ${\displaystyle (uv)'=u'v+uv'}$

Quoziente di funzioni:

• ${\displaystyle {u \over v}=e^{\ln {u}-\ln {v}}}$
• ${\displaystyle \left(\ln {u \over v}\right)'={u' \over u}-{v' \over v}}$
• ${\displaystyle {u' \over u}-{v' \over v}={\frac {{u' \over v}-{\frac {uv'}{v^{2}}}}{u \over v}}}$
• ${\displaystyle {\frac {{u' \over v}-{\frac {uv'}{v^{2}}}}{u \over v}}={\frac {{u' \over v}+{\frac {uv'}{v^{2}}}}{u \over v}}}$
• ${\displaystyle {\frac {u'v-{\frac {uv'}{v^{2}}}}{u \over v}}={\frac {{u' \over v}+{uv' \over v^{2}}}{u \over v}}}$
• ${\displaystyle {\frac {{u' \over v}+{uv' \over v^{2}}}{u \over v}}={\frac {\frac {u'v-uv'}{v^{2}}}{u \over v}}}$
• ${\displaystyle \left({u \over v}\right)'={\frac {u'v-uv'}{v^{2}}}}$

Potenze di funzioni:

• Se n è una costante, ${\displaystyle u^{n}=e^{n\ln {u}}}$
• ${\displaystyle (n\ln {u})'=n\left({u' \over u}\right)}$
• ${\displaystyle n\left({u' \over u}\right)=n{\frac {u^{n-1}}{u^{n}}}}$
• ${\displaystyle \left(u^{n}\right)'=n(u^{n-1})u'}$

Fattori integranti

L'attenzione posta alla derivata logaritmica è iniziata con la precisazione del metodo del fattore integrante per la soluzione delle equazioni differenziali del primo ordine. Con notazione operatoriale scriviamo

${\displaystyle D={d \over dx}}$

e denotiamo M l'operatore di moltiplicazione per una data funzione G(x). L'operatore

${\displaystyle M^{-1}DM}$

per la regola del prodotto si può scrivere

${\displaystyle D+M*,}$

dove ${\displaystyle M*}$ denota l'operatore di moltiplicazione per la derivata logaritmica della funzione

${\displaystyle {G' \over G}.}$

In pratica, avendo un operatore della forma

${\displaystyle D+F=L}$

e dovendo risolvere un'equazione della forma

${\displaystyle L(h)=f}$

nella funzione incognita ${\displaystyle h}$, nota la ${\displaystyle f}$. Questo problema si riconduce alla soluzione della

${\displaystyle {G' \over G}=F}$

che ha soluzioni della forma

${\displaystyle e^{\int {F}}}$

costruita con un qualsiasi integrale indefinito della ${\displaystyle F}$.

Analisi complessa

La formula data si può applicare più estesamente. Per esempio, se f(z) è una funzione meromorfa, è sensato applicarla per tutti i valori z del campo complesso che non siano zeri o poli per la f. Inoltre il comportamento della derivata logaritmica in uno zero o in un polo si ricava facilmente dalle caratteristiche particolari della funzione.

Consideriamo la funzione

zⁿ     con n numero intero diverso da 0.

La sua derivata logaritmica è

${\displaystyle {n \over z}}$

e si può arrivare alla conclusione generale che per una generica funzione meromorfa tutte le singolarità della derivata logaritmica sono semplici poli con residuo n corrispondenti agli zeri di ordine n della f e con residuo −n in corrispondenza ad ogni polo di ordine n (vedi principio dell'argomento). Queste considerazioni sono utilizzate spesso per valutare gli integrali di contorno.

Funzioni speciali

La derivata logatitmica viene utilizzata per introdurre varie funzioni spaziali interessanti. In particolare essa permette di definire la funzione digamma.

Gruppo moltiplicativo dei reali

L'utilità della derivata logaritmica si basa su due proprietà di base di GL₁, il gruppo moltiplicativo dei numeri reali o di un altro campo. L'operatore differenziale

${\displaystyle X^{-1}{d \over dX}}$

è invariante per la traslazione gruppale, cioè per la sostituzione di X con aX essendo a una costante. Conseguentemente è invariante anche la forma differenziale

${\displaystyle {dX \over X}.}$

Per funzioni F a valori in GL₁, l'applicazione

${\displaystyle {dF \over F}}$

è quindi una trasformazione pull-back di una forma invariante.

Voci correlate

• Inflazione, è la derivata logaritmica del prezzo del paniere rispetto al tempo.

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Derivata logaritmica, su MathWorld, Wolfram Research.

V · D · M Analisi matematica
Calcolo infinitesimale	Numero reale · Infinitesimo · O-grande · Successione (di funzioni) · Successione di Cauchy · Teorema di Bolzano-Weierstrass · Stima asintotica · Limite (di una funzione · di una successione · Forma indeterminata) · Teorema dei due carabinieri · Limite notevole · Punto di accumulazione · Punto isolato · Intorno · Serie (di funzioni) · Criteri di convergenza · Limite di funzioni a più variabili
Studio della continuità	Funzione continua · Punto di discontinuità · Continuità uniforme · Funzione lipschitziana · Teorema di Bolzano · Teorema di Weierstrass · Teorema dei valori intermedi · Teorema di Heine-Cantor · Modulo di continuità · Funzione semicontinua · Continuità separata · Teorema di approssimazione di Weierstrass
Calcolo differenziale	Derivata · Differenziale · Regole di derivazione · Teorema di Fermat · Teorema di Rolle · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teorema di Darboux · Teorema di Taylor · Serie di Taylor · Funzione differenziabile · Gradiente · Jacobiana · Hessiana · Forma differenziale · Generalizzazioni della derivata · Derivata parziale · Derivata mista
Integrale	Primitiva · Integrale di Riemann · Integrale improprio · Integrale di Lebesgue · Teorema fondamentale · Metodi di integrazione · Tavole · Integrale multiplo, di linea (1ª specie · 2ª specie) e di superficie (di volume)
Studio di funzione	Funzione · Variabile · Dominio e codominio · Funzioni pari e dispari · Funzione periodica · Funzione monotona · Funzione convessa · Massimo e minimo di una funzione · Punto angoloso · Cuspide · Punto di flesso · Asintoto · Grafico di una funzione · Funzione iniettiva
Disuguaglianze	Disuguaglianza triangolare · Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Altro	Approssimazione di Stirling · Prodotto di Wallis · Funzione Gamma · Teorema delle funzioni implicite · Teorema della funzione inversa · Funzione hölderiana · Spazio metrico · Spazio normato · Intervallo · Insieme trascurabile · Insieme chiuso · Insieme aperto · Palla · Omeomorfismo · Omeomorfismo locale · Diffeomorfismo · Diffeomorfismo locale · Classe C di una funzione · Equazione differenziale · Problema di Cauchy

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica