Titik kesetimbangan

Dalam matematika, khususnya dalam persamaan diferensial, titik kesetimbangan adalah penyelesaian tunggal untuk persamaan diferensial.

Definisi formal

Titik x ~ ∈ R n {\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}\in \mathbb {R} ^{n}} adalah titik kesetimbangan untuk persamaan diferensial

d x d t = f ( t , x ) {\displaystyle {\frac {d{\textbf {x}}}{dt}}={\textbf {f}}(t,{\textbf {x}})}

jika f ( t , x ~ ) = 0 {\displaystyle \mathbf {f} (t,{\tilde {\mathbf {x} }})=\mathbf {0} } untuk semua t {\displaystyle t} . Selain itu, titik x ~ ∈ R n {\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}\in \mathbb {R} ^{n}} adalah titik kesetimbangan (atau titik tetap) untuk relasi perulangan

x k + 1 = f ( k , x k ) {\displaystyle \mathbf {x} _{k+1}=\mathbf {f} (k,\mathbf {x} _{k})}

jika f ( k , x ~ ) = x ~ {\displaystyle \mathbf {f} (k,{\tilde {\mathbf {x} }})={\tilde {\mathbf {x} }}} untuk k = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle k=0,1,2,\ldots } .

Titik-titik kesetimbangan dapat dikelompokkan dengan melihat tanda-tanda eigen-nilai suatu linearisasi persamaan tentang kesetimbangan. Dengan kata lain, dengan mengevaluasi matriks Jacob pada tiap-tiap titik kesetimbangan sistem dan kemudian menemukan eigen-nilai yang dihasilkan, titik kesetimbangan dapat dikelompokkan. Kemudian, perilaku sistem di sekitar titik-titik kesetimbangan dapat ditentukan secara kualitatif (atau bahkan ditentukan secara kuantitatif dalam beberapa kasus) dengan menemukan eigen-vektor yang terkait dengan tiap-tiap eigen-nilai.

Suatu titik kesetimbangan termasuk hiperbola jika tidak ada eigen-nilai yang memiliki bagian riil nol. Jika semua nilai eigen memiliki bagian riil negatif, ekuilibrium adalah persamaan yang stabil. Jika setidaknya salah satunya memiliki bagian nyata yang positif, titik kesetimbangannya adalah simpul yang tidak stabil. Jika setidaknya satu eigen-nilai memiliki bagian nyata negatif dan setidaknya satu memiliki bagian nyata positif, titik kesetimbangannya adalah titik pelana (titik minimaks).

Lihat juga

  • Persamaan otonom
  • Titik kritis
  • Keadaan tunak

Daftar pustaka

  • Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (2012). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (edisi ke-10th). Wiley. ISBN 978-0-470-45831-0. 
  • Perko, Lawrence (2001). Differential Equations and Dynamical Systems (edisi ke-3rd). Springer. hlm. 102–104. ISBN 1-4613-0003-7.