Grup Galois

Dalam matematika, di bidang aljabar abstrak yang dikenal sebagai teori Galois, Grup Galois dari jenis tertentu ekstensi bidang adalah grup spesifik yang terkait dengan ekstensi bidang. Studi tentang perluasan lapangan dan hubungannya dengan polinomial yang memunculkan mereka melalui kelompok Galois disebut teori Galois, dinamai demikian untuk menghormati Évariste Galois yang pertama kali dibahas.

Untuk pembahasan yang lebih mendasar tentang grup Galois dalam istilah grup permutasi, lihat artikel di teori Galois.

Definisi

Misalkan ${\displaystyle E}$ adalah perpanjangan dari bidang ${\displaystyle F}$ (ditulis sebagai ${\displaystyle E/F}$ dan dibaca "E di atas F "). Automorfisme dari ${\displaystyle E/F}$ didefinisikan sebagai automorfisme dari ${\displaystyle E}$ dari ${\displaystyle F}$ secara searah. Dengan kata lain, automorfisme ${\displaystyle E/F}$ adalah isomorfisme ${\displaystyle \alpha :E\to E}$ sehingga ${\displaystyle \alpha (x)=x}$ untuk ${\displaystyle x\in F}$. Himpunan dari semua automorfisme ${\displaystyle E/F}$ membentuk grup dengan operasi komposisi fungsi. Grup ini terkadang dilambangkan dengan ${\displaystyle \operatorname {Aut} (E/F).}$

Jika ${\displaystyle E/F}$ adalah ekstensi Galois, maka ${\displaystyle \operatorname {Aut} (E/F)}$ disebut 'Galois group' dari ${\displaystyle E/F}$, dan biasanya dilambangkan dengan ${\displaystyle \operatorname {Gal} (E/F)}$.

Beberapa penulis merujuk ${\displaystyle \operatorname {Aut} (E/F)}$ sebagai grup Galois untuk ekstensi arbitrer ${\displaystyle E/F}$ dan menggunakan notasi yang sesuai, oleh Jacobson 2009.

Jika ${\displaystyle E/F}$ bukan ekstensi Galois, maka grup Galois dari ${\displaystyle E/F}$ terkadang didefinisikan sebagai ${\displaystyle \operatorname {Aut} (K/F)}$, di mana ${\displaystyle K}$ adalah penutupan Galois dari ${\displaystyle E}$.

Grup Galois dari suatu polinomial

Definisi lain dari grup Galois berasal dari grup Galois dari polinomial ${\displaystyle f\in F[x]}$. Jika ada bidang ${\displaystyle K/F}$ sedemikian rupa sehingga ${\displaystyle f}$ menjadi faktor sebagai produk dari polinomial linier

${\displaystyle f(x)=(x-\alpha _{1})\cdots (x-\alpha _{k})\in K[x]}$

di atas bidang ${\displaystyle K}$, maka grup Galois dari polinomial ${\displaystyle f}$ didefinisikan sebagai grup Galois dari ${\displaystyle K/F}$ di mana ${\displaystyle K}$ minimal di antara semua bidang tersebut.

Struktur grup Galois

Teorema dasar teori Galois

Salah satu teorema struktur penting dari teori Galois berasal dari teorema fundamental teori Galois. Ini menyatakan bahwa diberi ekstensi Galois terbatas ${\displaystyle K/k}$, ada bijection antara himpunan subbidang ${\displaystyle k\subset E\subset K}$ dan subgrup ${\displaystyle H\subset G.}$ Kemudian, ${\displaystyle E}$ diberikan oleh himpunan invarian dari ${\displaystyle K}$ di bawah aksi ${\displaystyle H}$, jadi

${\displaystyle E=K^{H}=\{a\in K:ga=a{\text{ dimana }}g\in H\}}$

Selain itu, jika ${\displaystyle H}$ adalah subgrup normal maka ${\displaystyle G/H\cong \operatorname {Gal} (E/k)}$. Dan sebaliknya, jika ${\displaystyle E/k}$ adalah ekstensi bidang normal, maka subgrup terkait di ${\displaystyle \operatorname {Gal} (K/k)}$ adalah grup normal.

Struktur kisi

Misalkan ${\displaystyle K_{1},K_{2}}$ adalah ekstensi Galois dari ${\displaystyle k}$ dengan grup Galois ${\displaystyle G_{1},G_{2}.}$ Bidang ${\displaystyle K_{1}K_{2}}$ dengan grup Galois ${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (K_{1}K_{2}/k)}$ memiliki injeksi ${\displaystyle G\to G_{1}\times G_{2}}$ yang merupakan isomorfisme ${\displaystyle K_{1}\cap K_{2}=k}$.^[1]

Indruksi

Sebagai dilakukan berkali-kali secara tak terbatas. Maka ekstensi Galois ${\displaystyle K_{1},\ldots ,K_{n}/k}$ where ${\displaystyle K_{i+1}\cap (K_{1}\cdots K_{i})=k,}$ maka isomorfisme dari grup Galois:

${\displaystyle \operatorname {Gal} (K_{1}\cdots K_{n}/k)\cong G_{1}\times \cdots \times G_{n}.}$

Contoh

Dalam contoh berikut ${\displaystyle F}$ adalah bidang, dan ${\displaystyle \mathbb {C} ,\mathbb {R} ,\mathbb {Q} }$ adalah bidang bilangan kompleks, riil, dan rasional. Notasi F(a) menunjukkan ekstensi bidang yang diperoleh dengan adjunsi elemen a ke bidang F .

Alat komputasi

Kardinalitas grup Galois dan derajat perluasan bidang

Salah satu proposisi dasar yang diperlukan untuk sepenuhnya menentukan grup Galois^[2] dari ekstensi medan hingga adalah sebagai berikut: Polinomial ${\displaystyle f(x)\in F[x]}$, maka ${\displaystyle E/F}$ menjadi ekstensi bidang pemisahnya. Maka urutan grup Galois sama dengan derajat perpanjangan medan; itu adalah,

${\displaystyle |\operatorname {Gal} (E/F)|=[E:F]}$

Kriteria Eisenstein

Alat yang berguna untuk menentukan kelompok Galois dari suatu polinomial berasal dari kriteria Eisenstein. Jika polinomial ${\displaystyle f\in F[x]}$ faktor menjadi polinomial tidak dapat direduksi ${\displaystyle f=f_{1}\cdots f_{k}}$ grup Galois dari ${\displaystyle f}$ dapat ditentukan menggunakan grup Galois dari setiap ${\displaystyle f_{i}}$ karena grup Galois dari ${\displaystyle f}$ adalah grup Galois dari ${\displaystyle f_{i}.}$

Grup trivial

${\displaystyle \operatorname {Gal} (F/F)}$ merupakan golongan trivial yang memiliki satu unsur yaitu automorfisme identitas.

Contoh lain dari grup Galois trivial adalah ${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathbb {R} /\mathbb {Q} ).}$ Memang, dapat ditunjukkan bahwa automorfisme dari ${\displaystyle \mathbb {R} }$ urutan dari bilangan riil dan karenanya harus menjadi identitas.

Pertimbangkan bidang ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).}$ Grup ${\displaystyle \operatorname {Aut} (K/\mathbb {Q} )}$ hanya berisi automorfisme identitas. Ini karena ${\displaystyle K}$ bukan ekstensi norma, karena dua akar pangkat tiga lainnya dari ${\displaystyle 2}$,

${\displaystyle \exp \left({\tfrac {2\pi i}{3}}\right){\sqrt[{3}]{2}}}$ and ${\displaystyle \exp \left({\tfrac {4\pi i}{3}}\right){\sqrt[{3}]{2}},}$

hilang dari ekstensi, dengan kata lain K bukan bidang pemisah.

Properti

Arti penting perpanjangan menjadi Galois adalah bahwa ia mematuhi teorema dasar teori Galois: subgrup tertutup (sehubungan dengan topologi Krull) dari grup Galois sesuai dengan bidang perantara dari ekstensi bidang.

Jika ${\displaystyle E/F}$ adalah ekstensi Galois, maka ${\displaystyle \operatorname {Gal} (E/F)}$ dapat diberi topologi, yang disebut topologi Krull, yang membuatnya menjadi grup tak hingga.

Lihat pula

• Teorema dasar teori Galois
• Grup Galois mutlak
• Representasi Galois
• Kelompok Dimushkin
• Grup solvabel

Catatan

Referensi

• Jacobson, Nathan (2009) [1985]. Basic Algebra I (edisi ke-2nd). Dover Publications. ISBN 978-0-486-47189-1. 
• Templat:Lang Algebra

Pranala luar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Galois group", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Galois group and the Quaternion group Diarsipkan 2022-03-17 di Wayback Machine.
• Templat:MathPages
• Comparing the global and local galois groups of an extension of number fields Diarsipkan 2021-01-28 di Wayback Machine.
• Galois Representations Diarsipkan 2022-01-20 di Wayback Machine. - Richard Taylor