Determinan

Dalam matematika khususnya aljabar linear, determinan (bahasa Inggris: determinant) adalah nilai skalar yang dihasilkan fungsi dari entri-entri suatu matriks persegi. Determinan dari matriks A umumnya dinyatakan dengan notasi det(A), det A, atau |A|. Determinan dapat dianggap sebagai faktor penskalaan transformasi yang digambarkan oleh matriks. Nilai determinan mencirikan beberapa sifat dari matriks tersebut, dan peta linear yang diwakili oleh matriks tersebut. Contohnya, determinan bernilai tidak nol jika dan hanya jika matriks tersebut tidak singular dan peta linear yang diwakilinya merupakan suatu isomorfisme. Determinan dari hasil perkalian matriks-matriks sama dengan hasil perkalian dari determinan matriks-matriks tersebut.

Determinan dari matriks 2 × 2 adalah

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc,}$

dan determinan dari matriks 3 × 3 adalah

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.}$

Determinan dari matriks ukuran n × n dapat didefinisikan dalam beberapa cara yang berbeda. Cara paling umum adalah rumus Leibniz, yang menyatakan determinan sebagai jumlah dari ${\displaystyle n!}$ (n faktorial) perkalian bertanda dari entri-entri matriks. Cara ini selanjutnya dapat dihitung dengan ekspansi Laplace yang menyatakan determinan sebagai kombinasi linear dari determinan-determinan submatriks; atau dengan eliminasi Gauss yang menyatakan determinan sebagai hasil kali entri-entri diagonal dari matriks diagonal, yang diperoleh dengan serangkaian operasi baris elementer. Determinan juga dapat didefinisikan dari beberapa sifat mereka. Determinan adalah suatu fungsi unik yang didefinisikan pada matriks n × n dan memiliki empat sifat berikut: determinan dari matriks identitas bernilai 1; pertukaran dua baris matriks akan mengalikan nilai determinan dengan −1; mengalikan sebuah baris dengan sebuah bilangan, akan mengalikan nilai determinan dengan bilangan tersebut; dan menambahkan kelipatan dari sebuah baris dengan baris lainnya tidak mengubah determinan.

Determinan umum muncul dalam matematika. Sebagai contoh, sebuah matriks sering digunakan untuk merepresentasikan koefisien-koefisien dalam sebuah sistem persamaan linear, dan determinan dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem tersebut (aturan Cramer); meskipun ada metode penyelesaian lain yang jauh lebih efisien secara komputasi. Determinan digunakan untuk menentukan polinomial karakteristik dari sebuah matriks, yang akar-akarnya adalah nilai-nilai eigen matriks tersebut. Dalam geometri, volume bertanda dari jajar genjang n-dimensi dapat dinyatakan dengan sebuah determinan, dan determinan dari (matriks) transformasi linear menentukan cara orientasi dan volume objek n-dimensi berubah. Hal ini selanjutnya digunakan determinan Jacobi dalam kalkulus, khususnya untuk subtitusi variabel dalam integral lipat.

Matriks persegi dimensi 2

Determinan dari matriks ukuran ${\displaystyle 2\times 2}$ dengan entri-entri ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$, umumnya disimbolkan antara dengan "det" atau dengan garis tegak diantara matriks. Nilai dari determinannya selanjutnya didefinisikan sebagai

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc.}$

Berikut adalah sebuah contoh perhitungan determinan,

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}3&7\\1&-4\end{pmatrix}}={\begin{vmatrix}3&7\\1&{-4}\end{vmatrix}}=3\cdot (-4)-7\cdot 1=-19.}$

Determinan memiliki beberapa sifat penting yang dapat dibuktikan dengan menggunakan definisi determinan untuk matriks ${\displaystyle 2\times 2}$. Sifat-sifat ini selanjutnya masih berlaku untuk determinan matriks yang berukuran lebih besar. Sifat-sifat itu adalah:^[1] pertama, determinan dari matriks identitas ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$ bernilai ${\displaystyle 1}$. Kedua, determinan akan bernilai nol jika ada dua baris yang sama pada matriks; secara aljabar: ${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\a&b\end{vmatrix}}=ab-ba=0.}$ Sifat ini juga berlaku ketika ada dua kolom yang sama. Lebih lanjut, mengubah semua entri pada sembarang kolom (atau baris) pada matriks akan menghasilkan hubungan:

Terakhir, jika sembarang kolom (atau baris) dikalikan dengan bilangan ${\displaystyle r}$ (artinya setiap entri pada kolom tersebut dikalikan dengan bilangan tersebut), nilai determinan matriks tersebut juga akan dikalikan dengan bilangan tersebut:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}r\cdot a&b\\r\cdot c&d\end{vmatrix}}=rad-brc=r(ad-bc)=r\cdot {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}.}$

Makna geometris

Jika entri-entri matriks berupa bilangan riil, matriks A dapat digunakan untuk merepresentasikan dua peta linear: satu yang memetakan vektor basis standar ke baris-baris dari A, dan satu lagi yang memetakannya ke kolom-kolom dari A. Pada kedua kasus tersebut, bayangan dari vektor-vektor basis akan membentuk sebuah jajar genjang yang merepresentasikan bayangan persegi satuan akibat pemetaan tersebut. Menggunakan matriks 2 × 2 pada bagian sebelumnya, jajar genjang yang didefinisikan oleh baris-baris matriks memiliki titik-titik sudut di (0, 0), (a, b), (a + c, b + d), dan (c, d), seperti yang ditunjukkan pada diagram disamping.

Nilai absolut dari ad − bc menyatakan luas dari jajar genjang, dan dengan demikian, mewakili faktor skala yang digunakan untuk mentransformasikan persegi satuan. (Jajar genjang yang dibentuk oleh kolom-kolom A pada umumnya merupakan jajar genjang yang berbeda dengan yang dibentuk dari baris-baris A, namun karena determinan bersifat simetris terhadap baris dan kolom, maka luasnya akan sama).

Nilai absolut dari determinan bersama dengan tandanya menjadi luas bertanda (oriented area) dari jajar genjang. Luas bertanda sama dengan luas yang biasa, kecuali luas akan bernilai negatif ketika sudut dari vektor pertama ke vektor kedua yang mendefinisikan jajar genjang, bergerak searah jarum jam (yang berlawanan arah, dengan arah yang didapat untuk matriks identitas).

Untuk menunjukkan bahwa ad − bc adalah luas bertanda, kita dapat memisalkan sebuah matriks yang berisi dua vektor, u ≡ (a, b) dan v ≡ (c, d), yang merepresentasikan sisi-sisi jajar genjang. Luas jajar genjang yang dibentuk dari kedua vektor tersebut dapat dinyatakan sebagai |u| |v| sin θ, dengan θ adalah sudut diantara vektor-vektor tersebut. Karena sifat sinus, luas ini sudah merupakan luas bertanda. Kosinus dapat digunakan untuk lebih menunjukkan hubungan dengan perkalian vektor, yakni menggunakan sudut komplementer ke vektor tegak lurus, misalnya u^⊥ = (−b, a) sehingga luas juga dapat ditulis sebagai |u^⊥| |v| cos θ′:

Dengan demikian, determinan menyatakan faktor penskalaan dan arah (tanda, orientasi) yang dihasilkan, oleh pemetaan yang diwakili oleh A. Ketika determinan bernilai 1, peta linear yang didefinisikan oleh matriks tersebut bersifat equi-ariil dan orientation-preserving.

Jika matriks riil A ukuran n × n ditulis dalam komponen vektor-vektor kolomnya, sehingga ${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{c|c|c|c}\mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{2}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\end{array}}\right]}$, maka

Hal ini mengartikan A memetakan kubus dimensi-n menjadi balok jajar genjang dimensi-n dengan sisi-sisi berupa vektor-vektor ${\displaystyle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n},}$ dengan domain ${\displaystyle P=\left\{c_{1}\mathbf {a} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {a} _{n}\mid 0\leq c_{i}\leq 1\ \forall i\right\}.}$Nilai determinan menyatakan volume dimensi-n bertanda dari balok jajar genjang ini, dan secara lebih umum faktor penskalaan objek dimensi-n akibat transformasi linear yang dihasilkan oleh A.^[2] (Tanda dari nilai determinan menunjukkan apakah transformasi mengawetkan (preserve) orientasi atau tidak). Secara khusus, jika determinan bernilai nol, maka balok jajar genjang memiliki volume nol dan tidak berada di dimensi-n sepenuhnya, yang selanjutnya mengartikan dimensi dari bayangan A kurang dari n. Hal ini (menggunakan teorema rank-nolitas) menunjukkan transformasi A tidak bersifat surjektif maupun bijektif, sehingga tidak terbalikkan (invertibel).

Sejarah

Dari sisi sejarah, determinan sudah digunakan sebelum konsep matriks muncul. Determinan awalnya dianggap sebagai salah satu sifat dari sistem persamaan linear untuk menentukan (determines) apakah sistem tersebut memiliki solusi yang unik (yang hanya terjadi ketika determinan bernilai tak-nol). Dalam konteks ini, determinan pertama kali digunakan dalam buku teks China Jiuzhang Suanshu sekitar abad ke-3 SM. Di Eropa, solusi dari sistem linear dua persamaan dapat dinyatakan dengan objek mirip-determinan oleh Cardano pada tahun 1545.^[3]

Pembahasan yang lebih terstruktur terkait determinan berasal dari karya Seki Takakazu di Jepang pada tahun 1683, dan secara bersamaan oleh Leibniz pada tahun 1693.^[4][5][6][7] (Cramer 1750) menyatakan aturan Cramer, namun tanpa menyertakan bukti.^[8] Cramer dan (Bezout 1779) mempelajari determinan karena hubungannya dengan kurva pada bidang yang melewati suatu himpunan titik.^[9]

Vandermonde (1771) adalah yang pertama menganggap determinan sebagai suatu fungsi tersendiri.^[5] (Laplace 1772) menyusun metode umum untuk menjabarkan determinan matriks dengan menggunakan komplemen dari minor-minornya; dengan kasus khusus metode ini sudah dibuat oleh Vandermonde^[10] Langsung setelah itu, Lagrange (1773) meneliti determinan orde kedua dan ketiga dan menerapkannya pada pertanyaan-pertanyaan terkait teori eliminasi, nama lawas bagi pendekatan algoritmik untuk menghilangkan beberapa variabel pada beberapa polinomial multivariabel.

Perkembangan besar selanjutnya dibuat oleh Gauss pada tahun 1801. Seperti Lagrange, ia banyak menggunakan determinan dalam teori bilangan. Ia juga memperkenalkan istilah "determinant" (Laplace menggunakan istilah "resultant"), walau tidak dalam pemahaman modern melainkan sebagai diskriminan dari polinomial homogen.^[11] Gauss juga mengembangkan konsep kebalikan (invers) dari determinan.

Selanjutnya pada tahun 1811-1812, Binet menyatakan secara formal teorema terkait perkalian dua matriks dengan ${\displaystyle m}$ kolom dan ${\displaystyle n}$ baris, yang pada kasus khusus ${\displaystyle m=n=1}$ tereduksi menjadi teorema perkalian bilangan. Pada hari yang sama (30 November 1812) Binet mempresentasikan karyanya ke Akademi, Cauchy juga mempresentasikan karya dengan topik serupa. (lihat rumus Cauchy–Binet.) Dalam karya ini Cauchy menggunakan istilah "determinan" dalam pengertian modern saat ini,^[12][13] merangkum dan menyederhanakan hal-hal yang telah diketahui, memperbaiki notasi, dan memberikan bukti teorema perkalian yang lebih memuaskan ketimbang Binet.^[5][14] Hal ini yang memulai teori terkait determinan secara umum.

(Jacobi 1841) mengembangkan determinan fungsional yang selanjutnya oleh Sylvester disebut matriks Jacobi.^[15] Cayley 1841 memperkenalkan notasi modern untuk determinan, yang menggunakan dua bar tegak.^[16][17] Penelitian terkait bentuk-bentuk khusus dari determinan selanjutnya muncul secara alami sebagai akibat dari teori umum yang sudah lengkap.

Definisi

Misalkan ${\displaystyle A}$ adalah matriks persegi berdimensi-${\displaystyle n}$, yang dapat dituliskan sebagai berikut

Elemen-elemen dari ${\displaystyle A}$ umumnya berupa bilangan riil atau bilangan kompleks, namun determinan juga dapat didefinisikan untuk matriks dengan elemennya berasal dari gelanggang komutatif. Terdapat banyak cara berbeda namun setara untuk mendefinisikan determinan dari ${\displaystyle A}$. Rumus Leibniz mendefinisikan rumus eksplisit yang menggunakan penjumlahan dari perkalian elemen-elemen matriks. Beberapa cara lain menggunakan fungsi dari elemen-elemen matriks yang memenuhi sifat-sifat tertentu; pendekatan ini dapat digunakan untuk mempermudah perhitungan dengan menyederhanakan matriks yang dikerjakan.

Rumus Leibniz

Rumus Leibniz, yang dinamakan demikian untuk menghormati Gottfried Leibniz, menyatakan determinan dari matriks persegi ${\displaystyle A}$ sebagai permutasi dari elemen-elemen matriks. Secara lebih formal, definisi ini didasarkan dari fakta (lebih tepatnya teorema) hanya ada satu fungsi multilinear alternating ${\displaystyle F(A)}$ terhadap kolom-kolom matriks, yang memenuhi ${\displaystyle F(I)=1}$ dengan ${\displaystyle I}$ adalah matriks identitas.^[18] Determinan selanjutnya dapat ditulis secara eksplisit sebagai

dengan ${\displaystyle {\text{sgn}}}$ adalah fungsi tanda (signum) dari permutasi dalam grup permutasi ${\displaystyle S_{n}}$, yang menghasilkan nilai ${\displaystyle +1}$ dan ${\displaystyle -1}$ masing-masing untuk permutasi genap dan ganjil. Fungsi multilinear alternating dan sifat ${\displaystyle F(I)=1}$ dipilih agar fungsi determinan memenuhi sifat-sifat yang diharapkan dari determinan (lihat pembahasan pada bagian § Matriks persegi dimensi 2).

Rumus Leibniz untuk determinan dari matriks ${\displaystyle 3\times 3}$ adalah

Dalam ekspresi tersebut, setiap suku memiliki satu faktor dari setiap baris dan kolom yang unik. Sebagai contoh, ${\displaystyle bdi}$ memiliki faktor ${\displaystyle b}$ dari elemen baris pertama kolom kedua, ${\displaystyle d}$ dari baris kedua kolom pertama, dan ${\displaystyle i}$ dari baris ketiga kolom ketiga. Tanda dari suku ditentukan dari banyaknya pertukaran faktor-faktor agar terurut menaik berdasarkan urutan kolomnya. Tanda positif untuk pertukaran berjumlah genap dan negatif untuk berjumlah genap. Sebagai contoh, suku ${\displaystyle bdi}$ memerlukan satu pertukaran agar menjadi ${\displaystyle dbi}$, yang masing-masing faktornya sekarang terurut menaik: kolom pertama, kedua, dan ketiga. Karena pertukaran berjumlah ganjil, suku ${\displaystyle bdi}$ akan dikalikan ${\displaystyle -1}$.

Aturan Sarrus dapat digunakan sebagai jembatan keledai untuk mengingat rumus eksplisit dari determinan ini: tulis salinan dari dua kolom pertama matriks di sisi kanan kolom ketiga. Determinan adalah jumlah dari tiga perkalian elemen-elemen diagonal matriks dari kiri-atas ke kanan-bawah, lalu dikurang dengan jumlah dari tiga perkalian elemen-elemen diagonal matriks dari kiri-bawah ke kanan-atas. Malangnya, aturan ini tidak dapat diterapkan untuk matriks dengan dimensi yang lebih besar.

Notasi lain yang umum digunakan untuk menuliskan rumus Leibniz adalah dengan menggunakan simbol Levi-Civita dengan penjumlahan Einstein. Simbol Levi-Civita ${\displaystyle \varepsilon _{i_{1},\ldots ,i_{n}}}$ terdefinisi pada rangkap-${\displaystyle n}$ dari bilangan bulat ${\displaystyle \{1,\,\ldots ,\,n\}}$.^[19][20] Simbol akan bernilai ${\displaystyle 0}$ jika ada dua bilangan bulat yang sama, dan bernilai tanda dari permutasi dari rangkap-n untuk kasus-kasus lainnya. Rumus Leibniz dalam notasi ini adalah

Ekspansi Laplace

Ekspansi Laplace, rumus Laplace, atau ekspansi baris/kolom, mendefinisikan determinan dari matriks ${\displaystyle A}$ ukuran ${\displaystyle n\times n}$ secara rekursif sebagai penjumlahan determinan matriks-matriks yang lebih kecil, yang disebut minor. Minor ${\displaystyle M_{i,j}}$ didefinisikan sebagai determinan matriks berukuran ${\displaystyle (n-1)\times (n-1)}$ yang dihasilkan dari menghapus baris ke-${\displaystyle i}$ dan kolom ke-${\displaystyle j}$ matriks ${\displaystyle A}$. Untuk sembarang ${\displaystyle i}$, akan berlaku hubungan

Ekspresi ${\displaystyle (-1)^{i+j}M_{i,j}}$ dikenal dengan sebutan kofaktor. Definisi determinan tersebut juga disebut sebagai "ekspansi Laplace baris ke-${\displaystyle i}$". Sebagai contoh, ekspansi Laplace baris pertama (${\displaystyle i=1}$) dari matriks ukuran ${\displaystyle 3\times 3}$ menghasilkan rumus

Ekspansi Laplace dapat digunakan secara iteratif untuk menghitung determinan, namun cara ini tidak efisien untuk matriks berukuran besar. Walau demikian, ekspansi Laplace ini berguna untuk menghitung determinan dari matriks-matriks tertentu seperti matriks Vandermonde:Ekspansi Laplace juga dapat digunakan untuk membantu menemukan invers dari matriks. Matriks adjugat ${\displaystyle \operatorname {adj} (A)}$ didefinisikan sebagai transpos dari matriks-matriks kofaktor, secara matematis Definisi ini memastikan perkalian matriks ${\displaystyle A}$ dengan adjugatnya akan menghasilkan menghasilkan matriks diagonal yang elemen diagonal utamanya bernilai ${\displaystyle \det(A)}$.^[21] Hubungan ini ditulis secara matematis sebagai ${\displaystyle A\operatorname {adj} A=(\operatorname {adj} A)\,A=(\det A)I,}$ dengan ${\displaystyle I}$ merupakan matriks identitas. Hubungan tersebut menunjukkan sifat penting dalam aljabar matriks, yakni ${\displaystyle A}$ memiliki invers jika dan hanya jika ${\displaystyle \det(A)}$ tidak bernilai ${\displaystyle 0}$. Ketika sifat ini berlaku, hubungan di atas dapat disusun (dengan mengalikan ruas tengah dan ruas kanan dengan ${\displaystyle A^{-1}}$ dari kanan) sehingga

Sifat-sifat determinan

Fungsi determinan dapat dicirikan dari tiga sifat utama berikut. Untuk lebih mudah menyebutkannya, pandang matriks ${\displaystyle A}$ berukuran ${\displaystyle n\times n}$ sebagai rangkap-${\displaystyle n}$ dari vektor-vektor kolomnya; secara notasi, ${\displaystyle A={\big (}\mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {a} _{n}{\big )},}$ dengan ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$ adalah vektor di kolom ke-${\displaystyle i}$ matriks.

1. ${\displaystyle \det \left(I\right)=1}$, dengan ${\displaystyle I}$ adalah matriks identitas.
2. Determinan merupakan pemetaan multilinear: jika kolom ke-${\displaystyle j}$ matriks ${\displaystyle A}$ dapat ditulis sebagai kombinasi linear ${\displaystyle \mathbf {a} _{j}=r\cdot \mathbf {v} +\mathbf {w} }$ dari dua vektor kolom ${\displaystyle \mathbf {v} }$ dan ${\displaystyle \mathbf {w} }$ dan skalar ${\displaystyle r}$, maka determinan dari ${\displaystyle A}$ dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear:
   $${\displaystyle {\begin{aligned}|A|&={\big |}\mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {a} _{j-1},r\cdot \mathbf {v} +\mathbf {w} ,\mathbf {a} _{j+1},\dots ,\mathbf {a} _{n}|\\&=r\cdot |\mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {v} ,\dots \mathbf {a} _{n}|+|\mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {w} ,\dots ,\mathbf {a} _{n}|\end{aligned}}}$$

   
3. Determinan bersifat alternating: ketika ada dua kolom matriks yang identik, determinan matriks tersebut sama dengan ${\displaystyle 0}$; secara matematis ${\displaystyle |\mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {v} ,\dots ,\mathbf {v} ,\dots ,\mathbf {a} _{n}|=0.}$

Ketiga sifat tersebut mengakibatkan beberapa sifat turunan:

• Determinan termasuk fungsi homogen, yakni, ${\displaystyle \det(cA)=c^{n}\det(A)}$
• Menukar dua kolom pada matriks akan mengalikan nilai determinan dengan ${\displaystyle -1}$:
  $${\displaystyle |\mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {a} _{j},\dots \mathbf {a} _{i},\dots ,\mathbf {a} _{n}|=-|\mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {a} _{i},\dots ,\mathbf {a} _{j},\dots ,\mathbf {a} _{n}|.}$$

  
  Rumus di atas dapat diterapkan secara iteratif jika ada beberapa kolom yang ingin ditukar. Sebagai contoh
  $${\displaystyle |\mathbf {a} _{3},\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\mathbf {a} _{4}\dots ,\mathbf {a} _{n}|=-|\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{3},\mathbf {a} _{2},\mathbf {a} _{4},\dots ,\mathbf {a} _{n}|=|\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\mathbf {a} _{3},\mathbf {a} _{4},\dots ,\mathbf {a} _{n}|.}$$

  
  Lebih umum lagi, sebarang permutasi kolom-kolom akan mengalikan determinan dengan tanda dari permutasi tersebut.
• Jika ada kolom pada matriks yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari kolom-kolom lainnya (dengan kata lain kolom-kolom matriks saling bergantung linear), determinan matriks tersebut sama dengan ${\displaystyle 0}$. Salah satu contoh kasus ini adalah ketika ada kolom yang semua elemennya bernilai ${\displaystyle 0}$.
• Jika suatu kelipatan skalar suatu kolom ditambahkan ke kolom yang lain, determinan dari matriks yang dihasilkan tidak berubah.
• Jika ${\displaystyle A}$ adalah matriks segitiga, yakni yang semua elemen ${\displaystyle a_{ij}=0}$ ketika ${\displaystyle i>j}$ (atau alternatif lain, ketika ${\displaystyle i<j}$), maka determinannya sama dengan hasil perkalian dari elemen-elemen diagonal utamanya,
  $${\displaystyle \det(A)=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}=\prod _{i=1}^{n}a_{ii}.}$$

  

Contoh

Selain penting dari aspek teoritis, ketiga sifat utama dan sifat-sifat turunan dari matriks dapat digunakan untuk mempermudah perhitungan nilai determinan. Sebagai contoh, metode eliminasi Gauss dapat diterapkan untuk mengubah matriks ke bentuk matriks segitiga atas, dalam langkah-langkah yang teratur. Contoh berikut mengilustrasikan cara menghitung determinan matriks ${\displaystyle A}$ dengan metode tersebut:

Perhitungan determinan dari matriks ${\displaystyle A}$

Matriks	${\displaystyle B={\begin{bmatrix}-3&-1&2\\3&1&4\\0&3&-1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle C={\begin{bmatrix}-3&5&2\\3&13&4\\0&0&-1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle D={\begin{bmatrix}5&-3&2\\13&3&4\\0&0&-1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle E={\begin{bmatrix}18&-3&2\\0&3&4\\0&0&-1\end{bmatrix}}}$
Dihasilkan dari	menambahkan kolom kedua ke yang pertama	menambahkan 3 kali kolom ketiga ke yang kedua	menukar dua kolom pertama	menambahkan ${\displaystyle -{\tfrac {13}{3}}}$ kali kolom kedua ke yang pertama
Determinan	${\displaystyle |A|=|B|}$	${\displaystyle |B|=|C|}$	${\displaystyle |D|=-|C|}$	${\displaystyle |E|=|D|}$

Menggabungkan semua persamaan ini menghasilkan ${\displaystyle |A|=-|E|=-(18\cdot 3\cdot (-1))=54.}$

Transpos

Determinan dari transpos matriks ${\displaystyle A}$ sama dengan determinan dari ${\displaystyle A}$:

Hubungan ini dapat ditunjukan dengan menginspeksi rumus Leibniz.^[22] Hal ini mengakibatkan semua penggunaan kata "kolom" pada semua sifat-sifat sebelumnya, dapat digantikan dengan kata "baris". Sebagai contoh, menukar dua baris pada matriks akan mengalikan nilai determinan dengan ${\displaystyle -1}$.

Multiplikativitas dan grup matriks

Determinan merupakan sebuah pemetaan multiplikatif. Hal ini mengartikan untuk sebarang matriks persegi ${\displaystyle A}$ dan ${\displaystyle B}$ yang berukuran sama, determinan dari perkalian matriks sama dengan perkalian dari determinan-determinan matriks,

Fakta penting ini dapat dibuktikan dengan menunjukkan bahwa, untuk matriks ${\displaystyle B}$ yang sudah ditetapkan, kedua sisi persamaan di atas merupakan fungsi yang bersifat multilinear dan alternating terhadap kolom-kolom ${\displaystyle A}$. Lebih lanjut, kedua sisi bernilai ${\displaystyle \det B}$ ketika ${\displaystyle A}$ berupa matriks identitas. Ketiga sifat unik ini membuktikan fakta tersebut.^[23] Rumus Cauchy–Binet adalah perumuman rumus determinan untuk perkalian matriks-matriks umum (tidak harus persegi).

Matriks ${\displaystyle A}$ dengan elemen-elemen berasal dari sebuah lapangan, dapat dibalikkan (invertibel, memiliki invers) jika dan hanya jika determinan matriks tersebut tidak nol. Hal ini berasal dari sifat multiplikatif determinan, juga dari rumus yang melibatkan matriks adjugat dari ekspansi Laplace. Ketika determinan bernilai tak-nol, determinan dari matriks inversnya adalah

Secara khusus, hasil perkalian maupun invers dari matriks-matriks dengan determinan tak-nol, masih memiliki sifat tersebut. Akibatnya, himpunan matriks-matriks tersebut (yang berukuran ${\displaystyle n}$ atas suatu lapangan ${\displaystyle K}$) membentuk sebuah grup linear umum ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(K)}$; dan ketika semua matriks memiliki determinan bernilai ${\displaystyle 1}$, membentuk sebuah subgrup bernama grup linear khusus ${\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(K)\subset \operatorname {GL} _{n}(K)}$. Umumnya, kata "khusus" ("special") digunakan untuk menandakan subgrup dari grup matriks dengan determinan bernilai ${\displaystyle 1}$. Contoh lainnya adalah grup ortogonal khusus (yang berisi semua matriks rotasi ketika ${\displaystyle n=2}$ dan ${\displaystyle n=3}$), dan grup uniter khusus.

Matriks blok

Rumus determinan untuk matriks ukuran ${\displaystyle 2\times 2}$ masih berlaku untuk matriks blok, dengan beberapa asumsi tambahan. Matriks blok adalah matriks yang terdiri dari submatriks ${\displaystyle A,B,C,D}$, masing masing berdimensi ${\displaystyle m\times m}$, ${\displaystyle m\times n}$, ${\displaystyle n\times m}$ dan ${\displaystyle n\times n}$. Rumus dalam bentuk yang paling sederhana, yang dapat dibukti dengan rumus Leibniz atau lewat faktorisasi dengan komplemen Schur, adalah

Jika matriks ${\displaystyle A}$ terbalikkan, dengan menggunakan hasil pada bagian multiplikativitas, dapat ditemukan yang dapat disederhanakan menjadi ${\displaystyle \det(A)(D-CA^{-1}B)}$ ketika ${\displaystyle D}$ merupakan matriks ukuran ${\displaystyle 1\times 1}$. Rumus ini dapat digunakan untuk membantu menghasilkan teorema determinan Sylvester, yang menyatakan untuk matriks ${\displaystyle A}$ berukuran ${\displaystyle m\times n}$ dan matriks ${\displaystyle B}$ berukuran ${\displaystyle n\times m}$, berlaku hubungan dengan ${\displaystyle I_{m}}$ dan ${\displaystyle I_{n}}$ masing-masing adalah matriks identitas dimensi ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle n}$.

Ketika semua submatriks merupakan matriks persegi yang berukuran sama, beberapa rumus lain juga berlaku. Sebagai contoh, ketika ${\displaystyle C}$ dan ${\displaystyle D}$ komutatif (artinya ${\displaystyle CD=DC}$), maka^[24]

Rumus ini dapat diperumum ke matriks blok dengan lebih dari ${\displaystyle 2\times 2}$ submatriks, dengan beberapa syarat tambahan terkait kekomutatifan antar submatriks.^[25]

Sifat-sifat terkait notasi matriks lainnya

Nilai eigen dan polinomial karakteristik

Determinan berkaitan erat dengan dua konsep lain di aljabar linear, yakni nilai eigen dan polinomial karakteristik dari matriks. Misalkan ${\displaystyle A}$ adalah matriks ukuran ${\displaystyle n\times n}$ dengan elemen berupa bilangan kompleks. Dengan menggunakan teorema dasar aljabar, disimpulkan ${\displaystyle A}$ pasti memiliki tepat ${\displaystyle n}$ nilai eigen ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}}$ (dalam konteks ini, nilai eigen dengan kegandaan aljabar ${\displaystyle \mu }$ muncul ${\displaystyle \mu }$ kali di daftar tersebut). Selanjutnya, determinan dari ${\displaystyle A}$ ternyata bernilai sama dengan hasil perkalian nilai-nilai eigen ini,

Dari hubungan ini, terlihat bahwa matriks ${\displaystyle A}$ memiliki invers (determinannya tak-nol) jika dan hanya jika ${\displaystyle 0}$ bukan nilai eigen dari ${\displaystyle A}$. Di sisi lain, polinomial karakteristik didefinisikan sebagai^[26]dengan ${\displaystyle t}$ merupakan variabel (lebih tepatnya indeterminate) dari polinomial, dan ${\displaystyle I}$ adalah matriks identitas berukuran sama dengan ${\displaystyle A}$. Polinomial ini selanjut memiliki akar berupa nilai-nilai eigen dari ${\displaystyle A}$; yakni bilangan-bilangan kompleks ${\displaystyle \lambda }$ yang memenuhi ${\displaystyle \chi _{A}(\lambda )=0.}$

Teras

Teras (trace) dari matriks ${\displaystyle A}$, dinotasikan dengan ${\displaystyle \operatorname {tr} (A)}$, didefinisikan sebagai hasil penjumlahan elemen-elemen diagonal ${\displaystyle A}$, dan nilainya juga sama dengan hasil penjumlahan dari nilai-nilai eigen. Akibatnya, untuk sebarang matriks kompleks ${\displaystyle A}$, berlaku

atau ekuivalen untuk matriks riil ${\displaystyle A}$, berlaku hubungan ${\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\log(\det(\exp(A))).}$ Disini, notasi ${\displaystyle \operatorname {exp} (A)}$ menyatakan perpangkatan matriks ${\displaystyle A}$, mengingat setiap nilai eigen ${\displaystyle \lambda }$ dari ${\displaystyle A}$ berkorespodensi dengan nilai eigen ${\displaystyle \operatorname {exp} (\lambda )}$ dari ${\displaystyle \operatorname {exp} (A)}$. Secara khusus, untuk sebarang logaritma dari ${\displaystyle A}$, dengan kata lain sebarang matriks ${\displaystyle L}$ yang memenuhi ${\displaystyle \exp(L)=A}$, determinan dari ${\displaystyle A}$ memiliki hubungan

${\displaystyle \det(A)=\exp(\operatorname {tr} (L)).}$

Sebagai contoh, untuk n = 2, n = 3, dan n = 4, secara berurutan akan berlaku,

${\displaystyle {\begin{aligned}\det(A)&={\frac {1}{2}}\left(\left(\operatorname {tr} (A)\right)^{2}-\operatorname {tr} \left(A^{2}\right)\right),\\\det(A)&={\frac {1}{6}}\left(\left(\operatorname {tr} (A)\right)^{3}-3\operatorname {tr} (A)~\operatorname {tr} \left(A^{2}\right)+2\operatorname {tr} \left(A^{3}\right)\right),\\\det(A)&={\frac {1}{24}}\left(\left(\operatorname {tr} (A)\right)^{4}-6\operatorname {tr} \left(A^{2}\right)\left(\operatorname {tr} (A)\right)^{2}+3\left(\operatorname {tr} \left(A^{2}\right)\right)^{2}+8\operatorname {tr} \left(A^{3}\right)~\operatorname {tr} (A)-6\operatorname {tr} \left(A^{4}\right)\right).\end{aligned}}}$

Batas atas dan batas bawah

Untuk matriks definit positif ${\displaystyle A}$, operator teras memberikan batas batas dan batas bawah berikut, yang rapat untuk logaritma dari determinan:

dengan kesamaan terjadi jika dan hanya jika ${\displaystyle A=I}$. Hubungan ini dapat didapatkan dengan menggunakan rumus divergensi Kullback-Leibler antara dua distribusi normal multivariat. Selain itu, dari menyatakan teras dan determinan sebagai nilai-nilai eigen, dapat ditemukan hubungan Hubungan ini menyatakan fakta umum yang terkenal, bahwa rerata harmonik lebih kecil daripada rerata geometrik, yang selanjutnya lebih kecil daripada rerata aritmetika, yang selanjutnya lagi lebih kecil daripada rerata kuadrat.

Turunan

Rumus Leibniz menunjukkan bahwa determinan dari matriks persegi dengan elemen bilangan riil (atau analog dengan itu, bilangan kompleks) merupakan sebuah fungsi polinomial dari ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n\times n}}$ ke ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Secara khusus, fungsi tersebut terdiferensial (dapat diturunkan) dimanapun. Turunan dari determinan selanjutnya dapat dinyatakan menggunakan rumus Jacobi:^[27]

dengan ${\displaystyle \operatorname {adj} (A)}$ menyatakan adjugat dari ${\displaystyle A}$. Khususnya ketika ${\displaystyle A}$ memiliki invers, terdapat hubungan

Penerapan

Aturan Cramer

Determinants dapat digunakan untuk menentukan solusi-solusi dari sistem persamaan linear, yang dinyatakan sebagai ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$ dalam bentuk matriks. Persamaan ini memiliki solusi unik ${\displaystyle \mathbf {x} }$ jika dan hanya jika ${\displaystyle \det(A)}$ tak-nol. Ketika syarat tersebut dipenuhi, solusi dari sistem dapat ditentukan dengan aturan Cramer:

dengan ${\displaystyle A_{i}}$ adalah matriks yang dibentuk dengan menukar kolom ke-${\displaystyle i}$ matriks ${\displaystyle A}$ dengan vektor ${\displaystyle \mathbf {b} }$. Rumus ini didapatkan dari ekspansi kolom dari determinan; secara matematis:

${\displaystyle \det(A_{i})=\det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}&\ldots &\mathbf {b} &\ldots &\mathbf {a} _{n}\end{bmatrix}}=\sum _{j=1}^{n}x_{j}\det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}&\ldots &\mathbf {a} _{i-1}&\mathbf {a} _{j}&\mathbf {a} _{i+1}&\ldots &\mathbf {a} _{n}\end{bmatrix}}=x_{i}\det(A)}$

dengan ${\displaystyle \mathbf {a} _{j}}$ adalah vektor kolom ke-${\displaystyle j}$ dari ${\displaystyle A}$. Aturan ini juga dapat dihasilkan dari identitas ${\displaystyle A\,\operatorname {adj} (A)=\operatorname {adj} (A)\,A=\det(A)\,I_{n}.}$

Aturan Cramer dapat diimplementasikan dengan kompleksitas waktu ${\displaystyle \operatorname {O} (n^{3})}$, yang sebanding dengan metode-metode lainnya terkait penyelesaian sistem persamaan linear, seperti penguraian (dekomposisi) LU, QR, maupun SVD.^[28]

Kebebasan linear

Determinan dapat digunakan untuk mencirikan vektor-vektor yang bergantung linear, dengan menggunakan fakta ${\displaystyle \det A}$ bernilai ${\displaystyle 0}$ jika dan hanya jika vektor-vektor kolom (atau ekuivalen dengan itu, vektor-vektor baris) di ${\displaystyle A}$ saling bergantung linear.^[29] Sebagai contoh, untuk sebarang ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\,\mathbf {v} _{2}\in \mathbb {R} ^{3}}$, vektor ${\displaystyle \mathbf {v} _{3}}$ akan berada di bidang yang direntang (spanned) oleh kedua vektor sebelumnya, jika matriks yang dibentuk dari ketiga vektor tersebut memiliki determinan bernilai ${\displaystyle 0}$. Ide yang sama juga digunakan dalam teori persamaan diferensial: determinan Wronski (Wronskian) dari fungsi ${\displaystyle f_{1}(x),\dots ,f_{n}(x)}$ (yang dianggap terdiferensialkan ${\displaystyle n-1}$ kali) didefinisikan sebagai

Fungsi ini bernilai tak-nol (untuk nilai ${\displaystyle x}$ tertentu) di suatu selang yang ditetapkan, jika dan hanya jika fungsi-fungsi tersebut berserta semua turunan sampai orde ke-${\displaystyle (n-1)}$ saling bebas linear. Ketika Wronskian bernilai nol dimanapun pada suatu selang, maka pada kasus fungsi analitik, hal ini mengartikan fungsi tersebut bergantung linear. Selain Wronskian, penerapan lain determinan dalam hal kebebasan linear adalah resultan, yang memberikan kriteria untuk dua polinomial memiliki [beberapa] akar solusi yang sama.^[30]

Volume dan determinan Jacobi

Seperti yang ditunjukkan pada beberapa bagian sebelumnya, nilai mutlak dari determinan vektor-vektor riil sama dengan volume balok jajar genjang yang dibentuk oleh vektor-vektor tersebut. Sebagai konsekuensinya, jika ${\displaystyle f:\mathbf {\mathbb {R} } ^{n}\to \mathbf {\mathbb {R} } ^{n}}$ adalah peta linear yang diberikan oleh perkalian dengan sebuah matriks ${\displaystyle A}$, dan ${\displaystyle S\subset \mathbf {\mathbb {R} } ^{n}}$ adalah sebarang subset yang terukur, maka volume ${\displaystyle f(S)}$ dapat dihitung lewat mengalikan ${\displaystyle |\det(A)|}$ dengan volume ${\displaystyle S}$.^[31] Secara lebih umum, jika peta linear ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ direpresentasikan oleh matriks ${\displaystyle A}$ berukuran ${\displaystyle m\times n}$, maka volume dimensi-${\displaystyle n}$ dari ${\displaystyle f(S)}$ diberikan lewat hubungan:

Sifat di atas juga berlaku untuk fungsi terdiferensial ${\displaystyle f}$, dengan memperhatikan matriks Jacobi dari fungsi tersebut. Untuk ${\displaystyle f:\mathbf {\mathbb {R} } ^{n}\rightarrow \mathbf {\mathbb {R} } ^{n},}$ matriks Jacobi adalah matriks berukuran ${\displaystyle n\times n}$ yang elemen-elemennya adalah turunan parsial dari ${\displaystyle f}$, yang secara matematis ditulis

${\displaystyle D(f)=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{1\leq i,j\leq n}.}$

Determinan matriks tersebut (juga disebut dengan Jacobian) muncul dalam integrasi dengan substitusi: untuk fungsi multivariabel ${\displaystyle f}$ yang sesuai dan himpunan terbuka ${\displaystyle U\in \mathbb {R} ^{n}}$ (domain dari ${\displaystyle f}$), integral atas ${\displaystyle f(U)}$ dari suatu fungsi ${\displaystyle \phi :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ adalah

Jacobian juga muncul dalam teorema fungsi invers.

Dalam penerapannya di bidang kartografi, determinan Jacobi dapat digunakan untuk mengukur laju perluasan (rate of expansion) dari peta di sekitar kutub.^[32]

Perhitungan

Determinan umumnya digunakan sebagai alat teoritis. Determinan jarang dihitung secara eksplisit dalam aljabar linear numerik, karena penerapannya untuk mengecek keterbalikan dan mencari nilai-nilai eigen dapat digantikan oleh teknik-teknik lain.^[33] Tapi di sisi lain, geometri komputasi sering melakukan perhitungan yang terkait dengan determinan.^[34]

Walau nilai determinan dapat dihitung secara langsung menggunakan rumus Leibniz, metode ini sangat tidak efisien untuk matriks berukuran besar. Hal ini disebabkan dari formulasi yang memerlukan perhitungan ${\displaystyle n!}$ (${\displaystyle n}$ faktorial) perkalian untuk matriks ${\displaystyle n\times n}$; menyebabkannya memiliki kompleksitas ${\displaystyle \operatorname {O} (n!)}$. Serupa dengan itu, ekspansi Laplace juga tidak efisien. Akibatnya, beberapa teknik yang lebih lanjut dikembangkan untuk menghitung determinan.

Metode penguraian

Beberapa teknik menghitung ${\displaystyle \det(A)}$ dilakukan dengan menulis matriks sebagai perkalian beberapa matriks yang determinannya lebih mudah dihitung. Teknik-teknik tersebut dirujuk sebagai teknik penguraian. Contoh teknik ini adalah penguraian LU, penguraian QR, dan penguraian Cholesky (untuk matriks definit positif). Teknik-teknik ini memiliki kompleksitas ${\displaystyle \operatorname {O} (n^{3})}$, yang jauh lebih baik dibandingkan dengan ${\displaystyle \operatorname {O} (n!)}$.^[35]

Sebagai contoh, penguraian LU menyatakan ${\displaystyle A}$ sebagai perkalian

${\displaystyle A=PLU,}$

dengan ${\displaystyle P}$ adalah matriks permutasi (matriks yang setiap kolomnya hanya mengandung satu nilai ${\displaystyle 1}$, dan sisanya bernilai ${\displaystyle 0}$), matriks segitiga bawah ${\displaystyle L}$, dan matriks segitiga atas ${\displaystyle U}$. Determinan dari matriks segitiga ${\displaystyle L}$ dan ${\displaystyle U}$ dapat dengan mudah dihitung, karena nilainya sama dengan hasil perkalian elemen-elemen diagonal utama. Sedangkan determinan dari ${\displaystyle P}$ hanya nilai tanda ${\displaystyle \varepsilon }$ dari permutasi kolom-kolom ${\displaystyle P}$ (yang bernilai ${\displaystyle +1}$ untuk permutasi genap dan ${\displaystyle -1}$ untuk permutasi ganjil). Ketika penguraian LU dihasilkan untuk ${\displaystyle A}$, nilai determinannya dapat dihitung sebagai

${\displaystyle \det(A)=\varepsilon \det(L)\cdot \det(U).}$

Metode lainnya

Kompleksitas ${\displaystyle \operatorname {O} (n^{3})}$ yang dihasilkan oleh metode penguraian telah ditingkatkan lewat beberapa teknik berbeda. Jika dua matriks dimensi ${\displaystyle n}$ dapat dikalikan dalam waktu ${\displaystyle M(n)}$, dengan ${\displaystyle M(n)\geq n^{a}}$ untuk suatu ${\displaystyle a>2}$, maka ada algoritma untuk menghitung determinan dalam waktu ${\displaystyle O(M(n))}$.^[36] Hal ini mengartikan ada algoritma ${\displaystyle \operatorname {O} (n^{2.376})}$ untuk menghitung determinan, berdasarkan algoritma Coppersmith–Winograd. Nilai pangkat ini telah diperkecil lebih lanjut; sampai tahun 2016, nilainya menjadi 2.373.^[37]

Selain kompleksitas, kriteria-kriteria lain dapat digunakan untuk membandingkan algoritma perhitungan determinan. Algoritma dapat diukur dari kompleksitas bit mereka, yakni besar bit yang diperlukan untuk menjaga akurasi perhitungan ketika algoritma berjalan. Sebagai contoh, eliminasi Gauss (atau penguraian LU) yang memiliki kompleksitas ${\displaystyle \operatorname {O} (n^{3})}$, dapat memiliki bit yang dapat membesar secara eksponensial dalam pengerjaannya.^[38] Sebagai pembanding, algoritma Bareiss, masih dengan kompleksitas yang sama, menggunakan pembagian eksak (exact-division) memiliki kompleksitas bit yang kurang-lebih sama dengan ${\displaystyle n}$ kali ukuran bit elemen-elemen matriks.^[39]

Charles Dodgson (nama asli dari Lewis Carroll pencipta Alice's Adventures in Wonderland) menemukan metode menghitung determinan yang disebut kondensasi Dodgson. Malangnya metode menarik ini tidak selalu berhasil dalam bentuk orisinalnya.^[40]

Catatan kaki

Referensi

• Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (edisi ke-9th), Wiley International 
• Axler, Sheldon Jay (2015). Linear Algebra Done Right (edisi ke-3rd). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0. 
• Bareiss, Erwin (1968), "Sylvester's Identity and Multistep Integer-Preserving Gaussian Elimination" (PDF), Mathematics of Computation, 22 (102): 565–578, doi:10.2307/2004533, JSTOR 2004533, diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2012-10-25  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• de Boor, Carl (1990), "An empty exercise" (PDF), ACM SIGNUM Newsletter, 25 (2): 3–7, doi:10.1145/122272.122273, diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2006-09-01  Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan); Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Bourbaki, Nicolas (1998), Algebra I, Chapters 1-3, Springer, ISBN 9783540642435 
• Bunch, J. R.; Hopcroft, J. E. (1974). "Triangular Factorization and Inversion by Fast Matrix Multiplication". Mathematics of Computation. 28 (125): 231–236. doi:10.1090/S0025-5718-1974-0331751-8 . 
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004), Abstract algebra (edisi ke-3rd), Hoboken, NJ: Wiley, ISBN 9780471452348, OCLC 248917264 
• Fisikopoulos, Vissarion; Peñaranda, Luis (2016), "Faster geometric algorithms via dynamic determinant computation", Computational Geometry, 54: 1–16, doi:10.1016/j.comgeo.2015.12.001  
• Garibaldi, Skip (2004), "The characteristic polynomial and determinant are not ad hoc constructions", American Mathematical Monthly, 111 (9): 761–778, arXiv:math/0203276 , doi:10.2307/4145188, JSTOR 4145188, MR 2104048 
• Habgood, Ken; Arel, Itamar (2012). "A condensation-based application of Cramer's rule for solving large-scale linear systems" (PDF). Journal of Discrete Algorithms. 10: 98–109. doi:10.1016/j.jda.2011.06.007 . Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2019-05-05.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Harris, Frank E. (2014), Mathematics for Physical Science and Engineering, Elsevier, ISBN 9780128010495 
• Kleiner, Israel (2007), Kleiner, Israel, ed., A history of abstract algebra, Birkhäuser, doi:10.1007/978-0-8176-4685-1, ISBN 978-0-8176-4684-4, MR 2347309 
• Kung, Joseph P.S.; Rota, Gian-Carlo; Yan, Catherine (2009), Combinatorics: The Rota Way, Cambridge University Press, ISBN 9780521883894 
• Lay, David C. (August 22, 2005), Linear Algebra and Its Applications (edisi ke-3rd), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7 
• Lombardi, Henri; Quitté, Claude (2015), Commutative Algebra: Constructive Methods, Springer, ISBN 9789401799447 
• Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician, Graduate Texts in Mathematics 5 (edisi ke-2nd), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98403-8 
• Meyer, Carl D. (February 15, 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, diarsipkan dari versi asli tanggal 2009-10-31  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Muir, Thomas (1960) [1933], A treatise on the theory of determinants, Revised and enlarged by William H. Metzler, New York, NY: Dover 
• Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (edisi ke-2nd), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3 
• G. Baley Price (1947) "Some identities in the theory of determinants", American Mathematical Monthly 54:75–90 Templat:Mr
• Horn, Roger Alan; Johnson, Charles Royal (2018) [1985]. Matrix Analysis (edisi ke-2nd). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54823-6. 
• Lang, Serge (1985), Introduction to Linear Algebra, Undergraduate Texts in Mathematics (edisi ke-2), Springer, ISBN 9780387962054 
• Lang, Serge (1987), Linear Algebra, Undergraduate Texts in Mathematics (edisi ke-3), Springer, ISBN 9780387964126 
• Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. New York, NY: Springer. ISBN 978-0-387-95385-4. 
• Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (edisi ke-7th), Pearson Prentice Hall 
• Rote, Günter (2001), "Division-free algorithms for the determinant and the Pfaffian: algebraic and combinatorial approaches" (PDF), Computational discrete mathematics, Lecture Notes in Comput. Sci., 2122, Springer, hlm. 119–135, doi:10.1007/3-540-45506-X_9 , ISBN 978-3-540-42775-9, MR 1911585, diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2007-02-01, diakses tanggal 2020-06-04  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Trefethen, Lloyd; Bau III, David (1997), Numerical Linear Algebra (edisi ke-1st), Philadelphia: SIAM, ISBN 978-0-89871-361-9 

Referensi sejarah

• Bourbaki, Nicolas (1994), Elements of the history of mathematics, diterjemahkan oleh Meldrum, John, Springer, doi:10.1007/978-3-642-61693-8, ISBN 3-540-19376-6 
• Cajori, Florian (1993), A history of mathematical notations: Including Vol. I. Notations in elementary mathematics; Vol. II. Notations mainly in higher mathematics, Reprint of the 1928 and 1929 originals, Dover, ISBN 0-486-67766-4, MR 3363427 
• Bezout, Étienne (1779), Théorie générale des equations algébriques, Paris 
• Cayley, Arthur (1841), "On a theorem in the geometry of position", Cambridge Mathematical Journal, 2: 267–271 
• Cramer, Gabriel (1750), Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques, Genève: Frères Cramer & Cl. Philibert, doi:10.3931/e-rara-4048 
• Eves, Howard (1990), An introduction to the history of mathematics (edisi ke-6), Saunders College Publishing, ISBN 0-03-029558-0, MR 1104435 
• Grattan-Guinness, I., ed. (2003), Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences, 1, Johns Hopkins University Press, ISBN 9780801873966 
• Jacobi, Carl Gustav Jakob (1841), "De Determinantibus functionalibus", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1841 (22): 320–359, doi:10.1515/crll.1841.22.319  Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Laplace, Pierre-Simon, de (1772), "Recherches sur le calcul intégral et sur le systéme du monde", Histoire de l'Académie Royale des Sciences, Paris (seconde partie): 267–376