Algoritma Gauss-Newton

Di dalam ilmu matematika, algoritme Gauss-Newton digunakan untuk memecahkan masalah-masalah kuadrat terkecil. Algoritme ini merupakan sebuah modifikasi dari metode Newton untuk mengoptimalkan sebuah fungsi. Tidak seperti metode Newton, algoritme Gauss-Newton hanya bisa digunakan untuk mengoptimumkan jumlah dari nilai fungsi kuadrat. Metode ini merupakan hasil penemuan dari matematikawan bernama Carl Friedrich Gauss.

Permasalahan

Diberikan m fungsi f1, ..., fm of n parameters p1, ..., pn with m≥n, kita ingin meminimumkan jumlah

S ( p ) = ∑ i = 1 m ( f i ( p ) ) 2 . {\displaystyle S(p)=\sum _{i=1}^{m}(f_{i}(p))^{2}.}

Disini, p adalah vektor kolom (p1, ..., pn)T.

Algoritme

Algoritme Gauss-Newton merupakan prosedur iterasi. Ini berarti bahwa pengguna harus menetapkan sebuah penduga pertama untuk parameter vektor p, yang mana akan kita sebut p0.

Berikutnya penduga pk untuk parameter vektor yang kemudian dihasilkan oleh perulangan hubungan

p k + 1 = p k − ( J f ( p k ) ⊤ J f ( p k ) ) − 1 J f ( p k ) ⊤ f ( p k ) , {\displaystyle p^{k+1}=p^{k}-{\Big (}J_{f}(p^{k})^{\top }J_{f}(p^{k}){\Big )}^{-1}J_{f}(p^{k})^{\top }f(p^{k}),}

di mana f=(f1, ..., fm)T dan Jf(p) menunjukkan Jacobian dari f saat p.

Matriks invers tidak pernah dihasilakan secara eksplisit dalam praktiknya. Sebagai pengganti, kita gunakan

p k + 1 = p k + δ k , {\displaystyle p^{k+1}=p^{k}+\delta ^{k},\,}

Dan kita hitung perbaikan δk dengan menyelesaikan sistem linear

J f ( p k ) ⊤ J f ( p k ) δ k = − J f ( p k ) ⊤ f ( p k ) , {\displaystyle J_{f}(p^{k})^{\top }J_{f}(p^{k})\,\delta ^{k}=-J_{f}(p^{k})^{\top }f(p^{k}),} .

Penelusuran garis

Sebuah implementasi yang baik dari algoritme Gauss-Newton juga menggunakan algoritme penelusuran garis: sebagai pengganti dari formula sebelumnya untuk pk+1, kita gunakan

p k + 1 = p k + α k δ k , {\displaystyle p^{k+1}=p^{k}+\alpha ^{k}\,\delta ^{k},}

Dimana kita berusaha memilih sebuah nilai optimal untuk bilangan αk.

Derivasi dari metode Newton

Hubungan perulangan metode Newton untuk meminimumkan sebuah fungsi S adalah

p k + 1 = p k − [ H S ( p k ) ] − 1 ∇ S ( p k ) , {\displaystyle p^{k+1}=p^{k}-[H_{S}(p^{k})]^{-1}\nabla S(p^{k}),\,}

di mana ∇ S {\displaystyle \nabla S} dan H S {\displaystyle H_{S}} berarti gradien dan Hessian dari S . Sekarang kita misalkan S memiliki bentuk

S ( p ) = ∑ i = 1 m ( f i ( p ) ) 2 = f ( p ) ⊤ f ( p ) {\displaystyle S(p)=\sum _{i=1}^{m}(f_{i}(p))^{2}=f(p)^{\top }f(p)}

di mana f {\displaystyle f} adalah sebuah nilai fungsi vector yang merupakan komponen f i {\displaystyle f_{i}} .

Dalam kasus ini, gradien diberikan oleh

∇ S ( p ) = 2 J f ( p ) ⊤ f ( p ) {\displaystyle \nabla S(p)=2J_{f}(p)^{\top }f(p)}

di mana J f {\displaystyle J_{f}} adalah Jacobian dari f {\displaystyle f} , dan Hessian diberikan oleh

H S ( p ) = 2 J f ( p ) ⊤ J f ( p ) + 2 ∑ i = 1 m f i ( p ) H f i ( p ) {\displaystyle H_{S}(p)=2J_{f}(p)^{\top }J_{f}(p)+2\sum _{i=1}^{m}f_{i}(p)\,H_{f_{i}}(p)}

di mana H f i {\displaystyle H_{f_{i}}} adalah Hessian dari f i {\displaystyle f_{i}} .

Catatan bahwa syarat kedua dalam ekspresi ini untuk v H S {\displaystyle H_{S}} menuju nol sama S ( p ) {\displaystyle S(p)} menuju nol. Jadi jika nilai minimum dari S(p) tertutup untuk nol, dan nilai percobaan dari p adalah tertutup untuk minimum, kemudian kita bisa mengira Hessian dengan:

H S ( p ) = 2 J f ( p ) ⊤ J f ( p ) {\displaystyle H_{S}(p)=2J_{f}(p)^{\top }J_{f}(p)}

Dengan memasukkan ekspresi ini untuk gradeien dan Hessian kedalam hubungan perulangan sebelumnya kita memiliki

p k + 1 = p k − ( J f ( p k ) ⊤ J f ( p k ) ) − 1 J f ( p k ) ⊤ f ( p k ) . {\displaystyle p^{k+1}=p^{k}-\left(J_{f}(p^{k})^{\top }J_{f}(p^{k})\right)^{-1}J_{f}(p^{k})^{\top }f(p^{k}).}

Algoritme lainnya

Metode lain untuk menyelesaikan masalah kuadrat terkecil hanya menggunakan derivatif pertama adalah penurunan gradien. Bagaimanapun, metode ini tidak memasukkan nilai maupun perhitungan derivatif kedua dengan perkiraan yang sama. Karenanya, metode ini tidak efisien untuk fungsi-fungsi tertentu, seperti fungsi Rosenbrock.

Pada kasus di mana minimum lebih besar dari nol, pengabaian syarat/ketentuan pada Hessian bisa jadi signifikan. Pada kasus ini, salah satunya bisa menggunakan algoritme Levenberg-Marquardt, yang merupakan kombinasi dari Gauss-Newton dan penurunan gradien.

Referensi

  • Nocedal, Jorge (1999). Numerical optimization. New York: Springer. ISBN 0387987932.  Parameter |coauthors= yang tidak diketahui mengabaikan (|author= yang disarankan) (bantuan)
  • Deuflhard, P. (2003). Numerical analysis in modern scientific computing: an introduction (edisi ke-2nd ed). New York: Springer. ISBN 0387954104.  Parameter |coauthors= yang tidak diketahui mengabaikan (|author= yang disarankan) (bantuan)Pemeliharaan CS1: Teks tambahan (link)