Túlélési függvény

A túlélési függvény a valószínűségszámítás speciális valós függvénye, ami az eloszlásfüggvényt egészíti ki. Az eloszlásfüggvényekhez hasonlóan a túlélési függvényekhez is hozzárendelhető valószínűségeloszlás, és megfordítva, minden eloszlásfüggvénynek van túlélési függvénye.

Elnevezése az élettartamok vizsgálatából származik. Ebben az esetben az egyednek vagy az elemnek túl kell élnie egy ${\displaystyle t}$ időtartamot. A túlélési függvény grafikonja a túlélési görbe.

Definíció

Adva legyen egy ${\displaystyle P}$ valószínűségeloszlás ${\displaystyle \mathbb {R} }$-en, ellátva a Borel-σ-algebrával; vagy egy ${\displaystyle X}$ valószínűségi változó. Ekkor

${\displaystyle G_{P}(t):=P((t,+\infty ))}$

illetve

${\displaystyle G_{X}(t):=P(X\geq t)}$

${\displaystyle P}$, illetve ${\displaystyle X}$ túlélési függvénye.

Tulajdonságai

Az eloszlásfüggvényhez hasonlóan belátható, hogy:

${\displaystyle \lim _{t\to -\infty }G(t)=1}$ és ${\displaystyle \lim _{t\to +\infty }G(t)=0}$

${\displaystyle G}$ monoton csökken

${\displaystyle G}$ balról folytonos.

Kapcsolat az eloszlásfüggvénnyel

Ha ${\displaystyle P}$ valószínűségeloszlás, eloszlásfüggvénye ${\displaystyle F_{P}}$ és túlélési függvénye ${\displaystyle G_{P}}$, akkor:

${\displaystyle F_{P}(t)+G_{P}(t)=1}$ minden ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$.

és minden ${\displaystyle X}$ valószínűségi változóra

${\displaystyle F_{X}(t)+G_{X}(t)=1}$ minden ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$.

Ez közvetlenül következik a definíciókból és a valószínűségeloszlás normáltságából. Az eloszlásfüggvény azokat számolja, melyekre a valószínűség kisebb, mint egy adott érték, a túlélési függvény azokat, melyekre a valószínűség legalább akkora, mint az adott érték. Így az összeg valószínűsége az, hogy valamilyen értéket felvesz, azaz 1.

Emiatt a túlélési függvényből kiszámítható az eloszlásfüggvény, és megfordítva, az eloszlásfüggvényből a túlélési függvény. Ezzel belátható, hogy a fenti tulajdonságokat teljesítő függvény túlélési függvény.

Feltételes túlélési valószínűség és hátralevő élettartam

Gyakran van szükség a hátralevő élettartam becslésére. Az az információ, hogy egy elem még ${\displaystyle t_{0}}$ idő után is működőképes, megváltoztatja a valószínűség becslését. Feltét4eles valószínűség használatával kapjuk a következőket:

A feltételes túlélés valószínűsége:

${\displaystyle P\left(X>t_{0}+t\mid X>t_{0}\right)={\frac {G(t+t_{0})}{G(t_{0})}}={\frac {1-F\left(t_{0}+t\right)}{1-F\left(t_{0}\right)}}}$

A hátralevő élettartam:

${\displaystyle F\left(t+t_{0}\mid t_{0}\right)=P\left(X\leq t+t_{0}\mid X>t_{0}\right)={\frac {F\left(t+t_{0}\right)-F\left(t_{0}\right)}{1-F\left(t_{0}\right)}}}$

Források

• Klaus D. Schmidt. Maß und Wahrscheinlichkeit, 2., átolvasott, Heidelberg Dordrecht London New York: Springer-Verlag (2011) 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben az Überlebensfunktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.