Riemann-féle zéta-függvény

A Riemann-féle zéta-függvény a számelmélet, ezen belül az analitikus számelmélet legfontosabb komplex változós függvénye. Különböző tulajdonságai szorosan összefüggenek a prímszámok eloszlásának kérdéseivel. A nemtriviális zérushelyeire vonatkozó Riemann-sejtés sokak szerint a matematika legfontosabb megoldatlan problémája.

Definíció

A Riemann-féle ζ(s) függvényt a

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}$

Dirichlet-sorral definiáljuk ott, ahol ez konvergens, azaz az 1-nél nagyobb valós résszel rendelkező komplex s értékekre. (Az analitikus számelméletben a komplex számokat hagyományosan s=σ+it alakban írják.)

ζ(s) analitikus folytatással az egész síkon meromorf függvénnyé terjeszthető ki, az alábbi módon:

${\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s)\!,}$

Aminek egyetlen elsőrendű pólusa 1-ben van, az s=-2, -4, … ( ahol a szinusz nulla, és a gamma-függvény véges értéket vesz fel) helyeken zérushelyei vannak, továbbá végtelen sok zérushelye van a ${\displaystyle 0\leq \sigma \leq 1}$ sávban. Ez az úgynevezett kritikus sáv.

A függvény értékei egész helyeken

A zéta-függvény értékeit pozitív, páros helyeken Euler határozta meg:

${\displaystyle \zeta (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}}$

ahol ${\displaystyle B_{n}}$ az n-edik Bernoulli-szám.

Speciálisan adódik a híres

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

formula, aminek meghatározása sokak hiábavaló próbalkozása után, először Eulernek sikerült (ez volt az úgynevezett Basel-probléma). Ismert továbbá, hogy ${\displaystyle \zeta (2n)}$ ${\displaystyle \pi ^{2n}}$ racionális többszöröse.

A ${\displaystyle \zeta (3),\zeta (5),\zeta (7),\dots }$ értékekről sokkal kevesebbet tudunk. Hosszú ideig az is ismeretlen volt, hogy ${\displaystyle \zeta (3)}$ irracionális szám-e. Ezt végül 1978-ban Apéry bizonyította be. 2001-ben Keith Ball és Tanguy Rivoal igazolta, hogy a Q feletti, ${\displaystyle \zeta (3),\zeta (5),\dots }$ által generált vektortér végtelendimenziós. 2002-ben Rivoal bebizonyította, hogy ${\displaystyle \zeta (5),\zeta (7),\dots ,\zeta (21)}$ valamelyike irracionális. Ezt V. Zudilin megjavította arra az eredményre, hogy ${\displaystyle \zeta (5),\zeta (7),\zeta (9),\zeta (11)}$ valamelyike irracionális. Bizonyított még, hogy ${\displaystyle \zeta (2n+1)}$végtelen sok helyen irracionális.^[1]

Euler heurisztikája

A ${\displaystyle \zeta }$-függvény nempozitív egész helyein felvett értékei a következőképpen adhatók meg:

${\displaystyle \zeta (0)=-{\frac {1}{2}}}$ és ${\displaystyle \zeta (1-k)=-{\frac {B_{k}}{k}}\quad (k=2,3,\dots )}$.

Érdekes módon az utóbbi értékeket Euler heurisztikus módon meghatározta. A ${\displaystyle \zeta (-1)}$-re vonatkozó okoskodása, azaz ${\displaystyle 1+2+3+\cdots =-{\frac {1}{12}}}$ „igazolása” a következő volt:

Legyen ${\displaystyle x=1-1+1-1+1\cdots }$. Ezt egy taggal eltolva ${\displaystyle x=0+1-1+1-1+\cdots }$ adódik. A két sort tagról tagra összeadva ${\displaystyle 2x=1}$-et kapunk, azaz ${\displaystyle x={\frac {1}{2}}}$. Hasonlóan legyen ${\displaystyle y=1-2+3-4+\cdots }$. Ismét eltolva: ${\displaystyle y=0+1-2+3-4+\cdots }$. Megint tagonként összeadva a két sort, azt kapjuk, hogy ${\displaystyle 2y=1-1+1-1+\cdots =x={\frac {1}{2}}}$, azaz ${\displaystyle y={\frac {1}{4}}}$. Legyen végül ${\displaystyle z=1+2+3+\cdots }$. Ekkor ${\displaystyle z=y+4z}$, mivel az ${\displaystyle 1-2+3-4+\cdots }$ sorból az ${\displaystyle 1+2+3+\cdots }$ sort úgy kaphatjuk, hogy a páros sorszámú tagokhoz rendre hozzáadjuk a sor ${\displaystyle 4+8+12+\cdots =4(1+2+3+\cdots )}$ tagjait. Innen ${\displaystyle z=-{\frac {y}{3}}=-{\frac {1}{12}}}$ adódik.

Kapcsolat a prímszámok eloszlásával

Már Euler felfedezte a

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s)&=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\\&=\left(1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{8^{s}}}+\dots \right)\cdot \left(1+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{9^{s}}}+{\frac {1}{27^{s}}}+\dots \right)\cdots \end{aligned}}}$

szorzatelőállítást, ami konvergens minden olyan s=σ+ti alakú komplex számra, ahol σ>1. Itt a p változó a prímszámokon fut végig. Valóban, ha a jobb oldali összegeket kiszorozzuk, akkor, a számelmélet alaptételének értelmében minden ${\displaystyle 1/n^{s}}$ alakú tagot megkapunk, éspedig pontosan egyszer. Az átrendezés jogosságát az adja, hogy a feltétel miatt a szereplő sor abszolút konvergens.

A függvényegyenlet

A függvényegyenlet összekapcsolja a függvény értékeit az s és az 1-s helyeken. Vezessük be a

${\displaystyle \xi (s)=\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)}$

függvényt. A ${\displaystyle \xi (s)}$ függvény az egész komplex számsíkon analitikus és csak a kritikus sávban vannak zérushelyei (amelyek azonosak a zéta-függvény zérushelyeivel). Ekkor ${\displaystyle \xi (s)=\xi (1-s)}$ teljesül.

A függvényegyenlet aszimmetrikus formája:

${\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s).}$

A ${\displaystyle \xi (s)}$ függvény Weierstrass-féle szorzatelőállítása:

${\displaystyle \xi (s)={\frac {1}{2}}e^{(-{\frac {\gamma }{2}}-1+{\frac {1}{2}}\log 4\pi )s}\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)e^{\frac {s}{\rho }}}$

ahol ${\displaystyle \rho }$ végigfut ${\displaystyle \zeta (s)}$ nemtriviális gyökein.

A gyökök kapcsolata a prímszámok eloszlásával

A gyökök közvetlen kapcsolatba hozhatók a prímszámok eloszlásával a következő képlettel:

${\displaystyle \psi (x)=x-{\frac {\zeta '(0)}{\zeta (0)}}-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-{\frac {1}{2}}\log(1-x^{-2})}$

ahol ${\displaystyle \rho }$ a nemtriviális gyökökön fut végig és

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n),}$

ahol ${\displaystyle \Lambda (n)}$ a von Mangoldt-függvény, azaz ${\displaystyle \Lambda (n)=\log p}$, ha ${\displaystyle n=p^{\alpha }}$, egyébként 0. Mivel ${\displaystyle \psi (x)}$ a prímhatvány helyeken ugrik, a fenti képlet ezekre a számokra csak azzal a korrekcióval igaz, hogy ilyen x esetén az utolsó tag ${\displaystyle \Lambda (x)}$ helyett ${\displaystyle \Lambda (x)/2}$. Egyszerű okoskodással belátható, hogy ${\displaystyle \psi (x)}$ minél közelebb van ${\displaystyle x}$-hez, annál közelebb van ${\displaystyle \pi (x)}$ ${\displaystyle {\text{Li}}(x)}$-hez. Így például ψ(x)∼x ekvivalens π(x)∼Li(x)-szel, azaz a prímszámtétellel. A jobb oldalon szereplő ${\displaystyle x^{\rho }/\rho }$ tagok ${\displaystyle \rho =\alpha +it}$ esetén így alakíthatók: ${\displaystyle x^{\alpha }e^{it\log x}/\rho }$ tehát abszolút értékük kb ${\displaystyle x^{\alpha }}$. Minél közelebb van a nemtriviális gyökök valós része ½-hez, annál közelebb van ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle x}$-hez. Konkrétan ψ(x)∼x ekvivalens azzal, hogy nincs ${\displaystyle 1+it}$ alakú gyök és ha ${\displaystyle 1/2\leq \alpha <1}$ olyan szám amire igaz, hogy minden gyök valós része legfeljebb ${\displaystyle \alpha }$, akkor ${\displaystyle \psi (x)=x+O(x^{\alpha }\log ^{2}x)}$ és így ${\displaystyle \pi (x)={\text{Li}}(x)+O(x^{\alpha }\log x)}$.

A gyökök eloszlása

A ζ-függvénynek végtelen sok zérushelye van a kritikus sávban. Riemann sejtette, hogy a ${\displaystyle 0\leq \sigma \leq 1}$, ${\displaystyle 0\leq t\leq T}$ téglalapban a zérushelyek száma

${\displaystyle N(T)={\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+O(\log T).}$

Ezt von Mangoldt 1895-ben gyengébb hibataggal, majd 1905-ben ezzel a hibataggal bizonyította.

1899-ben de la Vallée Poussin igazolta, hogy nincs zérushely a

${\displaystyle \sigma >1-{\frac {c}{\log t}}}$

tartományban. Ezt Littlewood 1922-ben a

${\displaystyle \sigma >1-{\frac {c\log \log t}{\log t}}}$

tartományra, majd 1958-ban Korobov és Vinogradov a

${\displaystyle \sigma >1-{\frac {c(\varepsilon )}{(\log t)^{2/3+\varepsilon }}}}$

tartományra javította (${\displaystyle \varepsilon >0}$, tetszőleges).

Jegyzetek