Reziduum

A komplex függvénytanban a reziduum a Laurent-sorok mínusz egyedik együtthatója. Fontosságát a reziduumtételnek köszönheti, ami lehetővé teszi a komplex értékű függvények komplex síkbeli görbe menti integráljának kiszámítását. Ha a görbével valós intervallumot közelítünk, akkor valós integrálok számításához is hasznos eszközt kapunk.

Definíció

Komplex tartományon

Legyen ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$ tartomány, ${\displaystyle D_{f}}$ izolált pont ${\displaystyle D}$-ben és ${\displaystyle f\colon D\setminus D_{f}\to \mathbb {C} }$ holomorf. Ekkor minden ${\displaystyle a\in D_{f}}$ pontnak van egy pontozott környezete, ${\displaystyle U:=U_{r}(a)\setminus \{a\}\subset D}$, ami relatív kompakt ${\displaystyle D}$-ben, ahol ${\displaystyle f|_{U}}$ holomorf. Ekkor ${\displaystyle f}$ Laurent-sorba fejthető ${\displaystyle U}$-ban: ${\displaystyle \textstyle f|_{U}(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}}$, és ekkor ${\displaystyle f}$ reziduuma ${\displaystyle a}$-ban

${\displaystyle \operatorname {Res} _{a}(f):=c_{-1}={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U}f(z)dz}$.

Riemann-féle számgömb

A fenti definíció kiterjeszthető a ${\displaystyle \mathbb {P} _{1}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ Riemann-féle számgömbre is. Legyen ismét ${\displaystyle D_{f}}$ diszkrét halmaz ${\displaystyle \mathbb {P} _{1}}$-ben és ${\displaystyle f\colon \mathbb {P} _{1}\setminus D_{f}\to \mathbb {C} }$ holomorf függvény. Ekkor minden ${\displaystyle a\in D_{f}}$ mit ${\displaystyle a\neq \infty }$-ra legyen ugyanaz a definíció, mint az előbb. Ha ${\displaystyle a=\infty \in D_{f}}$, akkor a reziduumot a

${\displaystyle \operatorname {Res} _{\infty }(f):=-c_{-1}={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\gamma }f(z)dz\,}$

helyettesítéssel definiáljuk, ahol ${\displaystyle \gamma }$ egy elég nagy sugarú, óramutató járása szerint irányított kör, és ${\displaystyle c_{-1}}$ a Laurent-sor mínusz egyedik együtthatója.

Tulajdonságok

• Legyen ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$ tartomány, és ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }$ holomorf függvény ${\displaystyle a}$-ban. Ekkor a Cauchy-integráltétel miatt ${\displaystyle f}$ reziduuma ${\displaystyle a}$-ban nulla.
• Az integrálos ábrázolás szerint az ${\displaystyle f(z)\mathrm {d} z}$ differenciálforma reziduumáról is beszélhetünk.
• Teljesül a reziduumtétel, hogy a zárt görbe menti integrál csak a görbén belül levő szingularitásoktól, az ottani reziduumoktól és az azok körüli körülfordulási számtól függ.

Példák

• Ha ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ egy nyílt környezetében holomorf, akkor ${\displaystyle \operatorname {Res} _{a}f=0}$.
• Ha ${\displaystyle f(z)={\tfrac {1}{z}}}$, akkor ${\displaystyle f}$-nek elsőrendű pólusa van ${\displaystyle 0}$-ban, és ott ${\displaystyle \operatorname {Res} _{0}f=1}$.
• A logaritmikus derivált szabálya és a linearitás miatt ${\displaystyle \operatorname {Res} _{1}{\tfrac {z}{z^{2}-1}}={\tfrac {1}{2}}}$, mivel ${\displaystyle z\mapsto z^{2}-1}$-nal elsőrendű nullhelye van ${\displaystyle 1}$-ben.
• A gammafüggvénynek elsőrendű pólusa van ${\displaystyle -n}$-ben, ahol ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ és ott a reziduuma ${\displaystyle \operatorname {Res} _{-n}\Gamma ={\tfrac {(-1)^{n}}{n!}}}$.

Kiszámítása

A komplex értékű függvények reziduuma sokszor a definíciónál könnyebben is kiszámítható. Legyenek ${\displaystyle f,g}$ komplex függvények, és keressük a reziduumot a-ban!

• A reziduumképzés lineáris ${\displaystyle \mathbb {C} }$ mint alaptest fölött, vagyis minden ${\displaystyle \lambda ,\mu \in \mathbb {C} }$-re:

${\displaystyle \operatorname {Res} _{a}\left(\lambda f+\mu g\right)=\lambda \operatorname {Res} _{a}f+\mu \operatorname {Res} _{a}g}$

• Ha ${\displaystyle f}$-nek ${\displaystyle a}$-ban elsőrendű pólusa van, akkor:

${\displaystyle \textstyle \operatorname {Res} _{a}f=\lim _{z\rightarrow a}(z-a)f(z)}$

• Ha ${\displaystyle f}$-nek elsőrendű pólusa van ${\displaystyle a}$-ban, és ${\displaystyle g}$ ugyanitt holomorf:

${\displaystyle \operatorname {Res} _{a}gf=g(a)\operatorname {Res} _{a}f}$

• Ha ${\displaystyle f}$-nek ${\displaystyle a}$-ban elsőrendű nullhelye van:

${\displaystyle \operatorname {Res} _{a}{\tfrac {1}{f}}={\tfrac {1}{f'(a)}}}$

• Ha ${\displaystyle f}$-nek ${\displaystyle a}$-ban elsőrendű nullhelye van, és ${\displaystyle g}$ ugyanitt holomorf:

${\displaystyle \operatorname {Res} _{a}{\tfrac {g}{f}}={\tfrac {g(a)}{f'(a)}}}$

• Ha ${\displaystyle f}$-nek ${\displaystyle a}$-ban ${\displaystyle n}$-edrendű pólusa van: :${\displaystyle \textstyle \operatorname {Res} _{a}f={\tfrac {1}{\left(n-1\right)!}}\lim _{z\rightarrow a}{\frac {\partial ^{n-1}}{\partial z^{n-1}}}[(z-a)^{n}f(z)]}$
• Ha ${\displaystyle f}$-nek ${\displaystyle a}$-ban ${\displaystyle n}$-edrendű nullhelye van: :${\displaystyle \operatorname {Res} _{a}{\tfrac {f'}{f}}=n}$.
• Ha ${\displaystyle f}$-nek ${\displaystyle a}$-ban ${\displaystyle n}$-edrendű nullhelye van, és ${\displaystyle g}$ ugyanitt holomorf:

${\displaystyle \operatorname {Res} _{a}g{\tfrac {f'}{f}}=g(a)n}$.

• Ha ${\displaystyle f}$-nek ${\displaystyle a}$-ban ${\displaystyle n}$-edrendű pólusa van: :${\displaystyle \operatorname {Res} _{a}{\tfrac {f'}{f}}=-n}$.
• Ha ${\displaystyle f}$-nek ${\displaystyle a}$-ban ${\displaystyle n}$-edrendű pólusa van és ${\displaystyle g}$ ugyanitt holomorf:

${\displaystyle \operatorname {Res} _{a}g{\tfrac {f'}{f}}=-g(a)n}$.

• Ha a ${\displaystyle \infty }$-beli reziduum kell, akkor:

${\displaystyle \operatorname {Res} _{\infty }f=\operatorname {Res} _{0}\left(-{\tfrac {1}{z^{2}}}f({\tfrac {1}{z}})\right)}$. Ekkor a ${\displaystyle w={\tfrac {1}{z}}}$ helyettesítéssel:

${\displaystyle f(w)\mathrm {d} w=f({\tfrac {1}{z}})\mathrm {d} {\tfrac {1}{z}}=-{\tfrac {1}{z^{2}}}f({\tfrac {1}{z}})\mathrm {d} z}$

Az ${\displaystyle {\tfrac {f'}{f}}}$ logaritmikus derivált az elméletben is kapcsolódik a reziduumtételhez.

Algebrája

Legyen ${\displaystyle K}$ test, és ${\displaystyle X}$ egy egyszerű összefüggő reguláris zárt görbe ${\displaystyle K}$ fölött! Ekkor minden ${\displaystyle x\in X}$ közrezárt elemhez létezik egy kanonikus leképezés:

${\displaystyle \operatorname {res} _{x}\colon \Omega _{K(X)/K}\to K,}$

ami minden meromorf differenciálformához hozzárendeli az ${\displaystyle x}$-beli reziduumát.

Ha ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle K}$-racionális elem és ${\displaystyle t}$ lokális uniformizálandó, akkor a reziduumleképezés explicit módon is megadható: Hogyha ${\displaystyle \omega }$ meromorf differenciálforma és ${\displaystyle \omega =f\,\mathrm {d} t}$ lokális ábrázolás, és még

${\displaystyle f=\sum _{k=-N}^{\infty }a_{k}t^{k}}$

Laurent-sora ${\displaystyle f}$-nek, akkor

${\displaystyle \operatorname {res} _{x}\omega =a_{-1}.}$

Ez ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$ esetén megegyezik a függvénytani definícióval.

A reziduumtétel analógja is teljesül: Minden ${\displaystyle \omega }$ meromorf differenciálformára a reziduumok összege nulla:

${\displaystyle \sum _{x\in X}\operatorname {res} _{x}\omega =0.}$

Források

• Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 3. Auflage. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2000.
• A. P. Yuzhakov: Residue of an analytic function. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 Online
• John Tate, Residues of differentials on curves. Annales scientifiques de l'É.N.S. 4^e série, tome 1, n^o 1 (1968), S. 149–159. DJVU/PDF