Bessel-egyenlőtlenség

A Bessel-egyenlőtlenség a funkcionálanalízis egy tétele, mely kapcsolatot teremt egy Hilbert-térbeli elem normája és egy ortonormált rendszerre vett vetületének együtthatói között.

Legyen H {\displaystyle H} Hilbert-tér, és legyen { e i } i = 1 ∞ {\displaystyle \{e_{i}\}_{i=1}^{\infty }} egy ortonormált rendszer H {\displaystyle H} -ban. Ekkor minden x ∈ H {\displaystyle x\in H} -ra:

∑ k = 1 ∞ | ⟨ x , e k ⟩ | 2 ≤ ‖ x ‖ 2 {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left\vert \left\langle x,e_{k}\right\rangle \right\vert ^{2}\leq \left\Vert x\right\Vert ^{2}}

ahol <∙,∙> jelöli a téren értelmezett skalárszorzatot.

Ha a fenti ortonormált rendszer teljes is, akkor a két oldal egyenlő egymással, ez a Parseval-formula.

A Bessel-egyenlőtlenség egyszerűen adódik a következő számolásból:

0 ≤ ‖ x − ∑ k = 1 n ⟨ x , e k ⟩ e k ‖ 2 = ‖ x ‖ 2 − 2 ∑ k = 1 n | ⟨ x , e k ⟩ | 2 + ∑ k = 1 n | ⟨ x , e k ⟩ | 2 = ‖ x ‖ 2 − ∑ k = 1 n | ⟨ x , e k ⟩ | 2 , {\displaystyle 0\leq \left\|x-\sum _{k=1}^{n}\langle x,e_{k}\rangle e_{k}\right\|^{2}=\|x\|^{2}-2\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}+\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}=\|x\|^{2}-\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2},}

Ez a szócikk a PlanetMath Bessel inequality cikkéből származó szövegen alapul. A PlanetMath GFDL licenc alatt terjeszthető.

  • Matematika Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap