Primitives de fonctions rationnelles

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Les primitives des fonctions rationnelles se déduisent par celles de leur décomposition en éléments simples, donc des formules suivantes :

(On suppose a ≠ 0.)

∫ ( a x + b ) n d x = 1 ( n + 1 ) a ( a x + b ) n + 1 + C {\displaystyle \int (ax+b)^{n}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{(n+1)a}}(ax+b)^{n+1}+C} pour tout entier relatif n différent de –1 (Formule de quadrature de Cavalieri (en))
∫ 1 a x + b d x = 1 a ln ⁡ | a x + b | + C {\displaystyle \int {\frac {1}{ax+b}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{a}}\ln |ax+b|+C}
∫ 1 a x 2 + b x + c d x = { 2 − ( b 2 − 4 a c ) arctan ⁡ 2 a x + b − ( b 2 − 4 a c ) + C  si  b 2 − 4 a c < 0 − 2 2 a x + b + C  si  b 2 − 4 a c = 0 1 b 2 − 4 a c ln ⁡ | 2 a x + b − b 2 − 4 a c 2 a x + b + b 2 − 4 a c | + C = { − 2 b 2 − 4 a c artanh ⁡ 2 a x + b b 2 − 4 a c + C  si  | 2 a x + b | < b 2 − 4 a c − 2 b 2 − 4 a c arcoth ⁡ 2 a x + b b 2 − 4 a c + C  sinon   si  b 2 − 4 a c > 0 {\displaystyle \int {\frac {1}{ax^{2}+bx+c}}\,\mathrm {d} x=\left\{{\begin{array}{lll}\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}}\operatorname {arctan} {\frac {2ax+b}{\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}}+C&{\text{ si }}&b^{2}-4ac<0\\[18pt]\displaystyle {\frac {-2}{2ax+b}}+C&{\text{ si }}&b^{2}-4ac=0\\[6pt]\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {b^{2}-4ac}}}\ln \left|{\frac {2ax+b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2ax+b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}}\right|+C=\left\{{\begin{array}{ll}-{\frac {2}{\sqrt {b^{2}-4ac}}}\operatorname {artanh} {\frac {2ax+b}{\sqrt {b^{2}-4ac}}}+C&{\text{ si }}|2ax+b|<{\sqrt {b^{2}-4ac}}\\-{\frac {2}{\sqrt {b^{2}-4ac}}}\operatorname {arcoth} {\frac {2ax+b}{\sqrt {b^{2}-4ac}}}+C&{\text{ sinon }}\end{array}}\right.&{\text{ si }}&b^{2}-4ac>0\end{array}}\right.}
∫ x a x 2 + b x + c d x = 1 2 a ln ⁡ | a x 2 + b x + c | − b 2 a ∫ 1 a x 2 + b x + c d x {\displaystyle \int {\frac {x}{ax^{2}+bx+c}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2a}}\ln |ax^{2}+bx+c|-{\frac {b}{2a}}\int {\frac {1}{ax^{2}+bx+c}}\,\mathrm {d} x}

Pour tout entier n ≥ 2 :

  • ∫ 1 ( a x 2 + b x + c ) n d x = − 2 a x + b ( n − 1 ) ( b 2 − 4 a c ) ( a x 2 + b x + c ) n − 1 − 2 ( 2 n − 3 ) a ( n − 1 ) ( b 2 − 4 a c ) ∫ 1 ( a x 2 + b x + c ) n − 1 d x {\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {1}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}}\,\mathrm {d} x=-{\frac {2ax+b}{(n-1)(b^{2}-4ac)(ax^{2}+bx+c)^{n-1}}}-{\frac {2(2n-3)a}{(n-1)(b^{2}-4ac)}}\int {\frac {1}{(ax^{2}+bx+c)^{n-1}}}\,\mathrm {d} x\end{aligned}}}
  • ∫ x ( a x 2 + b x + c ) n d x = b x + 2 c ( n − 1 ) ( b 2 − 4 a c ) ( a x 2 + b x + c ) n − 1 + ( 2 n − 3 ) b ( n − 1 ) ( b 2 − 4 a c ) ∫ 1 ( a x 2 + b x + c ) n − 1 d x {\displaystyle \int {\frac {x}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}}\,\mathrm {d} x={\frac {bx+2c}{(n-1)(b^{2}-4ac)(ax^{2}+bx+c)^{n-1}}}+{\frac {(2n-3)b}{(n-1)(b^{2}-4ac)}}\int {\frac {1}{(ax^{2}+bx+c)^{n-1}}}\,\mathrm {d} x}

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Table de primitives

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