Neliöksi täydentäminen

Neliöksi täydentäminen on algebrallinen menetelmä toisen asteen yhtälön ratkaisemiseksi. Neliöksi täydentämistä voidaan soveltaa myös integraaleja laskettaessa.

Menetelmän tavoitteena on päästä muodosta (1) ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ muotoon (2) ${\displaystyle (a'x+b')^{2}+c'}$. Tässä vakiot a', b', c' riippuvat vain vakioista a, b, c. Nyt muodon (2) avulla saadaan helposti ratkaistua polynomin (1) nollakohdat.

Neliöksi täydennyksessä otetaan ensimmäisen asteen termin kertoimen puolikkaan neliö, ja lisätään ja vähennetään se. Tälle toimenpiteelle on voimassa ehto, että toisen asteen termin kerroin on 1.

Halutaan tietää mitkä muuttujan x arvot toteuttavat yhtälön:

${\displaystyle 4x^{2}+4x=0}$.

Täydennetään neliöksi lisäämällä ja vähentämällä 1.

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(4x^{2}+4x+1\right)-1&=0\\(2x+1)^{2}-1&=0\end{aligned}}}$

Välivaiheittain:

(1) Otetaan termin ${\displaystyle x^{2}}$:n kerroin yhteiseksi tekijäksi ja toteutetaan ehto, että toisen asteen termin kerroin on yksi.

${\displaystyle 4\left(x^{2}+x\right)=0}$

(2) Täydennetään neliöön: ts. otetaan ensimmäisen asteen kertoimen, eli ${\displaystyle 1*x}$:n, puolikkaan neliö ${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{4}}}$ ja lisätään ja vähennetään se.

${\displaystyle 4\left[\left(x^{2}+x+{\frac {1}{4}}\right)-{\frac {1}{4}}\right]=0}$

(3) Poistetaan hakasulkeet, jolloin

${\displaystyle {\begin{aligned}4\left(x^{2}+x+{\frac {1}{4}}\right)-1&=0\\4\left(x+{\frac {1}{2}}\right)^{2}-1&=0\\(2x+1)^{2}-1&=0\end{aligned}}}$

Nyt yhtälö ratkeaa helposti

${\displaystyle {\begin{aligned}(2x+1)^{2}&=1\\2x+1&=\pm 1\\2x&=-1\pm 1\\x&=-{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}}{\text{.}}\end{aligned}}}$

Siis x on joko 0 tai -1.

Toisen asteen polynomifunktion neliöksi täydentäminen tehdään yleisesti seuraavasti:

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c=a\left(x+{b \over {2a}}\right)^{2}+c-{b^{2} \over {4a}}}$

Menetelmästä on se etu, että funktion käännepiste voidaan määrittää turvautumatta derivointiin. Käännepiste saadaan yhtälöstä ${\displaystyle x+{b \over {2a}}=0}$. Funktion arvo tässä pisteessä on siten ${\displaystyle f\left(-{b \over {2a}}\right)=c-{b^{2} \over {4a}}}$.

Funktion neliöksi täydentäminen tarkoittaa myös koordinaatiston origon. Jos funktio on täydennetyssä muodossaan

${\displaystyle y=a\left(x+{b \over {2a}}\right)^{2}+c-{b^{2} \over {4a}}}$,

sille saadaan myös seuraava muoto

${\displaystyle y-\left(c-{b^{2} \over {4a}}\right)=a\left(x+{b \over {2a}}\right)^{2}{\text{.}}}$

Merkitään

${\displaystyle {\begin{cases}x'=x+{b \over {2a}}\\y'=y-\left(c-{b^{2} \over {4a}}\right)\end{cases}}{\text{.}}}$

Tällöin alkuperäinen funktio saadaan muotoon

${\displaystyle y'=(x')^{2}}$,

ja alkuperäinen origo on pisteessä

${\displaystyle (x,y)=\left(-{b \over {2a}},c-{b^{2} \over {4a}}\right)}$, jolloin siis

${\displaystyle (x',y')=(0,0).}$

Tehtävä: kirjoita hyperbelin ${\displaystyle 9x^{2}-y^{2}+36x+2y+26=0}$ yhtälö perusmuotoon: ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$, ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$

(1) Järjestellään termit mieleiseksi, eli vakiot yhtälön oikealle puolelle ja tuntemattomat vasemmalle. Järjestellään x:t ja y:t.

${\displaystyle 9x^{2}+36x-y^{2}+2y=-26}$

(2) Ryhmitellään lausekkeet sellaisiksi, että toisen asteen termien kertoimet ovat sulkeiden sisällä 1. Otetaan x-termien yhteinen kerroin 9 ja y-termien kerroin -1 ulkopuolelle.

${\displaystyle 9\left(x^{2}+4x\right)+(-1)\left(y^{2}-2y\right)=-26}$

(3) Täydennetään neliöksi - lisätään ja vähennetään ensimmäisen asteen termien kertoimien puolikkaiden neliöt.

${\displaystyle 9\left[\left(x^{2}+4x+2^{2}\right)-2^{2}\right]+(-1)\left[\left(y^{2}-2y+(-1)^{2}\right)-(-1)^{2}\right]=-26}$

(4) Poistetaan hakasulkeet, ja eliminoidaan puolittain "ylimääräinen" neljäs vakio x:n ja y:n lausekkeesta:

${\displaystyle 9\left(x^{2}+4x+4\right)-36+(-1)\left(y^{2}-2y+1\right)+1=-26\;|+36\;|-1}$

(5) Jolloin jää:

${\displaystyle {\begin{aligned}9\left(x^{2}+4x+4\right)+(-1)\left(y^{2}-2y+1\right)&=9\\9(x+2)^{2}-(y-1)^{2}&=9\;|:9\\{\frac {(x+2)^{2}}{1}}-{\frac {(y-1)^{2}}{3^{2}}}&=1\end{aligned}}}$