Media generalizada

La media generalizada es una abstracción de los diversos tipos de media (geométrica, aritmética, armónica, etc). Se define como:^[1]​

${\displaystyle M_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})={\begin{cases}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{m}\right)^{\frac {1}{m}}&{\mbox{si}}\,m\not =0\\\left(\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{\frac {1}{n}}&{\mbox{si}}\,m=0\end{cases}}}$

En donde ciertos valores del parámetro m se corresponden con otro tipo de medias:

${\displaystyle M_{\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})=\max(x_{1},\dots ,x_{n})}$

${\displaystyle M_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})=}$ media cuadrática

${\displaystyle M_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})=}$ media aritmética

${\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})=}$ media geométrica

${\displaystyle M_{-1}(x_{1},\dots ,x_{n})=}$ media armónica

${\displaystyle M_{-\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})=\min(x_{1},\dots ,x_{n})}$

Definición

Sea ${\displaystyle x}$ una variable discreta que asume los ${\displaystyle n}$ valores positivos

${\displaystyle x_{1},x_{2},...x_{n}}$

, el número

${\displaystyle c_{\beta }=({\frac {x_{1}^{\beta }+x_{2}^{\beta }...+x_{n}^{\beta }}{n}})^{\frac {1}{\beta }}}$

se denomina media potencial de grado ${\displaystyle \beta }$ de los números ${\displaystyle x_{1},x_{2},...x_{n}}$. En particular, el número^[2]​

${\displaystyle c_{1}={\frac {x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n}}}$

es la media aritmética de los mencionados números; en especial, el número

${\displaystyle c_{2}=({\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...x_{n}^{2}}{n}})^{\frac {1}{2}}}$

se llama media cuadrática;,^[3]​ finalmente, el número

${\displaystyle c_{-1}=({\frac {x_{1}^{-1}+x_{2}^{-1}+...x_{n}^{-1}}{n}})^{-1}}$

se denomina media armónica de los números ${\displaystyle x_{1},x_{2},...x_{n}}$.

Desde un punto de vista formal, no hay restricción para el valor del grado ${\displaystyle \beta }$, de modo que puede asumir cualquier valor real

${\displaystyle -\infty <\beta <+\infty }$

Y el valor de x debe ser positivo.^[4]​

Proposiciones

Comparación con la media geométrica

Si ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$ son números positivos y, a su vez, ${\displaystyle k<0<l}$ entonces se cumple

${\displaystyle c_{k}\leq G\leq c_{l}}$

donde G es la media geométrica; Obsérvese que la media potencial de grado negativo no excede a la media geométrica y que la media potencial de grado positivo no es menor que la media geométrica.

Producto versus suma de n-ésinas potencias

Dado los números positivos x₁, x₂,..., x_n se cumple que

nx₁ x₂... x_n ≤ x₁ⁿ + x₂ⁿ + x_n^n[5]​

Monotonía de la media potencial respecto al grado

Si x₁, x₂,..., x_n son números posiivos y m < p, se tiene C _m≤ C_p. Ocurre la igualdad C _m = C_p únicamente si

x₁ = x₂ =... = x_n.

Relación de orden entre diversas medias potenciales

Si se asume que la media geométrica g sea definida como "media potencial de grado cero" y se denota g = c₀, se tiene la siguiente sucesión^[6]​

c_-1 ≤ c₀ ≤ c₁ ≤ c₂

Propiedades

${\displaystyle M_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{j}(x_{1},\dots ,x_{n}){\mbox{ si }}\,i<j}$

Para ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}{\mbox{ fijos: }}M(m)=M_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})}$ es continua respecto a ${\displaystyle m\in \mathbb {R} }$. Obsérvese que para valores de ${\displaystyle m\leq 0}$ la expresión solo tiene sentido si todos los ${\displaystyle x_{i}\geq 0}$.

El concepto de media generalizada también puede servir para definir otros más amplios.^[7]​

Aplicaciones

Media geométrica

En el caso de dos pesos aproximados de una cosa, se aplica la media geométrica. Si hay dos pesadas para el mismo objeto que dan 1,085 kg y 0.995. Se halla el la media geométrica, g = 1.034, aproximado a gramos ( o milésimos)

Radio promedio

Se conocen las medidas de los radios de 4 círculos que son 6, 8, 11 y 15 cm respectivamente. Hállese el radio de círculo cuya área sea el promedio de las áreas circulares propuestas.^[8]​

Sean r₁= 6, r₂ = 8, r₃ = 11 y r₄ = 15.

Se aplica la media cuadrática

${\displaystyle r_{m}={\sqrt {\frac {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2}+r_{4}^{2}}{4}}}}$

y para los valores respectivos resulta el valor del radio:

${\displaystyle r_{m}=10.56}$

lo que difiere de la media aritmética de los radios que sería

${\displaystyle r_{a}=10}$

Medida promedial de arista

Se conocen las medidas de las aristas de 3 cubos que son 8, 10 y 12. Hállese la medida de un cubo que represente el volumen promedio de los cubos dados.^[9]​

Sean a₁ = 8, a₂ = 10 y a₃ = 12

En este caso se va a aplicar la media potencial de grado 3

${\displaystyle a_{m}={\sqrt[{3}]{\frac {a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+a_{3}^{3}}{3}}}}$

y con los valores propuestos resulta la medida de la arista:

${\displaystyle a_{m}=10.26}$

resultado diferente a la media aritmética de las medidas de las aristas que sería

${\displaystyle a=10}$

Velocidad promedio

Si una canoa va en un río, aguas abajo, a la velocidad de ${\displaystyle 40\;\mathrm {km/h} }$ y aguas arriba a la velocidad de ${\displaystyle 25\;\mathrm {km/h} }$, hallar la velocidad promedio. En este caso aplicamos la fórmula del promedio armónico para los valores ${\displaystyle v_{1}=40,v_{2}=25}$,

${\displaystyle v_{p}=({\frac {v_{1}^{-1}+v_{2}^{-1}}{2}})^{-1}}$

, para los datos dados, resulta ${\displaystyle v_{p}=30{,}77\mathrm {~km/h} }$ distinto al promedio aritmético ${\displaystyle {\frac {40+25}{2}}=32{,}5\mathrm {~km/h} }$.

Véase también

• Media aritmética
• Media armónica
• Media cuadrática
• Media geométrica
• Media heroniana

Notas y referencias

Bibliografía

Korovkin. Desigualdades. Ediciones Mir, Moscú.