Rayleighsche Dissipationsfunktion

Die Rayleighsche Dissipationsfunktion ist ein von Lord Rayleigh 1876[1][2] eingeführter Ansatz für eine geschwindigkeitsabhängige Reibungskraft in der klassischen Mechanik. Er lässt sich auch im Lagrange-Formalismus der klassischen Mechanik formulieren.

Der Lagrangeformalismus beschreibt die Dynamik eines Systems über die Lagrangefunktion L = T − V {\displaystyle L=T-V} (mit T {\displaystyle T} der kinetischen Energie und V {\displaystyle V} der potentiellen Energie), wobei diese als Funktion von generalisierten Koordinaten q i {\displaystyle q_{i}} (und q i ˙ {\displaystyle {\dot {q_{i}}}} für die zugehörige generalisierte Geschwindigkeit) aufgefasst wird (wobei der Index i {\displaystyle i} die Komponenten bezeichnet). Dann kann man geschwindigkeitsabhängige Reibungskräfte über eine nicht-konservative generalisierte Kraft Q i ∗ {\displaystyle Q_{i}^{*}} auf der rechten Seite der Lagrangegleichung berücksichtigen (siehe auch den Artikel Lagrange-Formalismus):

d d t ∂ L ∂ q i ˙ − ∂ L ∂ q i = d d t ∂ T ∂ q i ˙ + ∂ T ∂ q i − ∂ V ∂ q i = Q i ∗ {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q_{i}}}}}+{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}=Q_{i}^{*}}

Rayleigh machte nun für die Reibungskraft F i {\displaystyle F_{i}} in euklidischen Koordinaten r i {\displaystyle r_{i}} (mit zugehöriger euklidischer Geschwindigkeit v i {\displaystyle v_{i}} ) folgenden Ansatz:

F i = − ∑ j K i j v j {\displaystyle F_{i}=-\sum _{j}\,K_{ij}\,v_{j}}

mit der Dissipationsmatrix K i j {\displaystyle K_{ij}} . Die zugehörige Dissipationsfunktion

K = 1 2 ∑ i , j K i j v i v j {\displaystyle K={\frac {1}{2}}\,\sum _{i,j}\,K_{ij}\,v_{i}\,v_{j}}

ist im einfachsten Fall einer diagonalen Dissipationsmatrix[3]

K = 1 2 ∑ i k i v i 2 {\displaystyle K={\frac {1}{2}}\,\sum _{i}\,k_{i}\,v_{i}^{2}}

Mit der Dissipationsfunktion ist die Reibungskraft demnach:

F i = − ∂ ∂ v i K {\displaystyle F_{i}=-{\frac {\partial }{\partial v_{i}}}K}

Beim Übergang zu generalisierten Koordinaten q i {\displaystyle q_{i}} ergibt sich

Q i ∗ = ∑ j F j ∂ r j ∂ q i {\displaystyle Q_{i}^{*}=\sum _{j}\,F_{j}\,{\frac {\partial r_{j}}{\partial q_{i}}}}

Wegen v i ( t , q , q ˙ ) = ∑ k ∂ r i ∂ q k q k ˙ + ∂ r i ∂ t {\displaystyle v_{i}(t,q,{\dot {q}})=\sum _{k}{\frac {\partial r_{i}}{\partial q_{k}}}\,{\dot {q_{k}}}+{\frac {\partial r_{i}}{\partial t}}} gilt:

∂ v i ∂ q k ˙ = ∂ r i ∂ q k {\displaystyle {\frac {\partial v_{i}}{\partial {\dot {q_{k}}}}}={\frac {\partial r_{i}}{\partial q_{k}}}}

und damit

Q i ∗ = − ∑ j ∂ K ∂ v j ∂ v j ∂ q i ˙ = − ∂ K ∂ q i ˙ {\displaystyle Q_{i}^{*}=-\sum _{j}\,{\frac {\partial K}{\partial v_{j}}}\,{\frac {\partial v_{j}}{\partial {\dot {q_{i}}}}}=-{\frac {\partial K}{\partial {\dot {q_{i}}}}}}

Daneben kann es auch andere, nicht durch einen Rayleigh-Ansatz beschreibbare nicht-konservative generalisierte Kräfte zur Beschreibung von Reibung geben.

Literatur

  • E. Minguzzi, Rayleigh's dissipation function at work, Eur. J. Phys., Band 36, 2015, S. 035014, arxiv

Einzelnachweise

  1. ↑ Rayleigh, Some general theorems related to vibration, Proc. London Math. Soc. s1-4, 1877, S. 357–368
  2. ↑ Lord Rayleigh, The theory of Sound, Macmillan 1877, Band 1, Kapitel 4, Paragraph 81
  3. ↑ So in Goldstein, Klassische Mechanik, 8. Auflage, Aula-Verlag 1985, S. 24