Kovarianzoperator

Der Kovarianzoperator bezeichnet in der Stochastik einen linearen Operator, der den Begriff der Kovarianz auf unendlich-dimensionale Räume erweitert. Der Begriff wird in der Theorie der stochastischen partiellen Differentialgleichungen und der stochastischen Analysis auf Banach- und Hilberträumen verwendet.

Der Kovarianzoperator lässt sich auf lokalkonvexen Räumen definieren, wir beschränken uns aber auf separable Banach-Räume, da in der Regel ein Banach- bzw. Hilbert-Raum betrachtet wird.

Auf einem Banach-Raum ${\displaystyle B}$ über ${\displaystyle \mathbb {R} }$ lässt sich ein Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle \gamma }$ für jedes lineare Funktional ${\displaystyle f}$ durch das Bildmaß ${\displaystyle f^{*}\gamma }$ definieren.

Sei ${\displaystyle (U,\|\cdot \|_{U},{\mathcal {B}}(U),\mu )}$ ein separabler Banach-Raum mit borelscher σ-Algebra und Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle \mu }$ darauf.

Der Kovarianzoperator ${\displaystyle \operatorname {C} _{\mu }:U^{*}\to U^{**}}$ von ${\displaystyle \mu }$ ist definiert durch

${\displaystyle \operatorname {C} _{\mu }(\varphi )(\xi ):=\int _{U}[\varphi (x)-a_{\mu }(\varphi )][\xi (x)-a_{\mu }(\xi )]\mu (\mathrm {d} x)}$

für ${\displaystyle \varphi ,\xi \in U^{*}}$ wobei ${\displaystyle a_{\mu }}$ den Erwartungswert von ${\displaystyle \mu }$ bezeichnet

${\displaystyle a_{\mu }(\varphi )=\int _{U}\varphi (x)\mu (\mathrm {d} x).}$^[1]

Der Operator induziert eine symmetrische Abbildung ${\displaystyle \operatorname {Cov} _{\mu }:U^{*}\times U^{*}\to \mathbb {R} }$ durch ${\displaystyle \operatorname {Cov} _{\mu }(\varphi ,\xi ):=\operatorname {C} _{\mu }(\varphi )(\xi )}$, welche bilinear und positiv definit ist, genannt Kovarianz.

Seien ${\displaystyle a_{\mu }}$ und ${\displaystyle \varphi }$ beschränkt. Wenn ${\displaystyle U}$ ein Hilbert-Raum ist, dann gilt nach dem Darstellungssatz von Fréchet-Riesz für ${\displaystyle \varphi \in U^{*}}$, dass ${\displaystyle \varphi (x)=\langle h,x\rangle }$ für alle ${\displaystyle x\in U}$ und ein ${\displaystyle h\in U}$ sowie ${\displaystyle a_{\mu }=\langle h,m\rangle }$ für ein ${\displaystyle m\in U}$, somit

${\displaystyle \langle \operatorname {C} _{\mu }h_{1},h_{2}\rangle =\int _{U}\langle h_{1},x-m\rangle \langle h_{2},x-m\rangle \mu (\mathrm {d} x)}$

für alle ${\displaystyle h_{1},h_{2}\in U}$.^[2]

Sei ${\displaystyle U=\mathbb {R} ^{n}}$ und ${\displaystyle U^{**}=U=\mathbb {R} ^{n}}$. Dann ist ${\displaystyle \operatorname {Cov} _{\mu }}$ die Kovarianzmatrix.

Sei ${\displaystyle \mu }$ ein gaußsches Maß auf einem separablen Banach-Raum ${\displaystyle (U,{\mathcal {B}}(U))}$, dann ist seine Fourier-Transformierte

${\displaystyle {\hat {\mu }}(f)=\int _{U}e^{if(x)}\mu (\mathrm {d} x)=e^{ia_{\mu }(f)-{\frac {1}{2}}\operatorname {Cov} _{\mu }(f,f)},\quad f\in U}$

1. ↑ Vladimir I. Bogachev: Gaussian Measures. Hrsg.: American Mathematical Society. 1998, ISBN 978-1-4704-1869-4. 
2. ↑ Charles R. Baker, Ian W. McKeague: Compact Covariance Operators. In: JSTOR (Hrsg.): Proceedings of the American Mathematical Society. Band 83, Nr. 3, 1981, S. 590–593, doi:10.2307/2044126. 

• Vladimir I. Bogachev: Gaussian Measures. Hrsg.: American Mathematical Society. 1998, ISBN 978-1-4704-1869-4. 
• Giuseppe Da Prato, Jerzy Zabczyk: Stochastic Equations in Infinite Dimensions. Hrsg.: Cambridge University Press. 2014, doi:10.1017/CBO9781107295513. 
• N. N. Vakhania, V. I. Tarieladze, S. A. Chobanyan Vakhania: Probability Distributions on Banach Spaces. In: Springer Dordrecht (Hrsg.): Mathematics and its Applications. Band 14, 1987, S. 144–183, doi:10.1007/978-94-009-3873-1.