Hilbert-Carleman-Determinante

In der Funktionalanalysis ist die Hilbert-Carleman-Determinante ein Determinanten-Begriff für Integraloperatoren auf Banach-Räumen, deren Kern nicht zwingend stetig ist. Die Fredholm-Determinante kann bei Integraloperatoren, deren Kern auf der Diagonale nicht stetig ist, im Allgemeinen nicht definiert werden. Wie diese ist auch die Hilbert-Carleman-Determinante für die Summe des Identitätsoperators mit einem Spurklasseoperators definiert, bei der Hilbert-Carleman-Determinante jedoch nur für Integraloperatoren.

Die Hilbert-Carleman-Determinante ist nach David Hilbert (1904^[1]) und Torsten Carleman (1921^[2]) benannt.

Hilbert-Carleman-Determinante

Sei ${\displaystyle T\subseteq \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle B:=L_{p}(T,\Sigma ,\mu )}$ der L^p-Raum über einem Maßraum ${\displaystyle (T,\Sigma ,\mu )}$ und dem Lebesgue-Maß ${\displaystyle \mu }$ und ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$. Sei

${\displaystyle Af=\int _{T}k(t,s)f(s)\mathrm {d} \mu (s)}$

ein Integraloperator auf dem Banach-Raum ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle I}$ der Identitätsoperator, dann ist die Hilbert-Carleman-Determinante von ${\displaystyle I+A}$ definiert als

${\displaystyle \operatorname {Det} (I+A)=1+\sum \limits _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\psi _{n}(A)}$,

wobei

${\displaystyle \psi _{n}(A)=\int _{T^{n}}\operatorname {det} {\begin{pmatrix}0&k(t_{1},t_{2})&\cdots &k(t_{1},t_{n})\\k(t_{2},t_{1})&0&\cdots &k(t_{2},t_{n})\\\vdots &\vdots &\cdots &\vdots \\k(t_{n},t_{1})&k(t_{n},t_{2})&\cdots &0\\\end{pmatrix}}\prod \limits _{i=1}^{n}\mathrm {d} \mu (t_{i})}$.^[3]

Erläuterungen

• Die Matrix oben besitzt auf der Diagonalen nur Nullen und an den restlichen Positionen die entsprechenden Werte des Kerns.
• Im Gegensatz zur Fredholm-Determinante ist die Hilbert-Carleman-Determinante nicht multiplikativ.
• Falls ${\displaystyle A}$ ein Spurklasseoperator ist, dann gilt folgende Beziehung zur Fredholm-Determinant (notiert mit ${\displaystyle \operatorname {det} }$)

${\displaystyle \operatorname {Det} (I+A)=\operatorname {det} (I+A)\exp(-\operatorname {tr} (A)).}$

Einzelnachweise

1. ↑ David Hilbert: Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen. In: Nach. Wiss. Math. Phys. Gott. 1904, S. 49–91. 
2. ↑ Torsten Carleman: Zur Theorie der linearen Integralgleichungen. In: Math. Zeit. Band 9, 1921, S. 196–217, doi:10.1007/BF01279029. 
3. ↑ Israel Gohberg, Seymour Goldberg, Nahum Krupnik: Traces and Determinants of Linear Operators (= Operator Theory: Advances and Applications. Band 116). ISBN 978-3-7643-6177-8, S. 159–160.