Dirac-Kamm

Dirac-Kamm

Der Dirac-Kamm (auch Dirac-Stoß-Folge oder Schah-Funktion) beschreibt eine periodische Folge von Dirac-Stößen. Anschaulich besitzt er die Form eines Kamms und wird wegen dieser Ähnlichkeit auch häufig mit dem kyrillischen Buchstaben Ш (Schah) symbolisiert.

Anwendung findet der Dirac-Kamm in der Mathematik und der Signalverarbeitung mittels Fourier-Analysis.

Definition

Der Dirac-Kamm stellt eine periodische temperierte Distribution dar, die von der diracschen Delta-Distribution Gebrauch macht.

Δ T ( t ) = ∑ n ∈ Z δ ( t − n T ) {\displaystyle \Delta _{T}(t)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }\delta (t-nT)}

für eine Periode T > 0 {\displaystyle T>0} . Anschaulich ist der Dirac-Kamm also aus unendlich vielen Dirac-Stößen zusammengesetzt, die im Abstand T {\displaystyle T} zueinander stehen.

Für die Anwendung des Dirac-Kamms auf eine Testfunktion ϕ ∈ C c ∞ ( R ) = D ( R ) {\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} )={\mathcal {D}}(\mathbb {R} )} gilt

Δ T ϕ := ∑ n ∈ Z ϕ ( n T ) {\displaystyle \Delta _{T}\phi :=\sum _{n\in \mathbb {Z} }\phi (nT)} .

Fourier-Transformation des Dirac-Kamms

Die Poissonsche Summenformel besagt, dass der Dirac-Kamm (der Periode 1) ein Fixpunkt der Fourier-Transformation ist. Allgemeiner gilt

F { Δ T } = 1 T Δ 1 T , {\displaystyle {\mathcal {F}}\{\Delta _{T}\}={\frac {1}{T}}\,\Delta _{\frac {1}{T}},}

wobei für die kontinuierliche Fourier-Transformation die in der Literatur zur Signalverarbeitung übliche Konvention

F { f ( t ) } = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − 2 π i t x d x {\displaystyle {\mathcal {F}}\{f(t)\}=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,e^{-2\pi \mathrm {i} tx}\,\mathrm {d} x}

verwendet wird.

Abtastung und Alias-Effekte

Mit Hilfe des Dirac-Kamms lässt sich das Abtasten einer Funktion mathematisch durch Multiplikation mit der abzutastenden Funktion beschreiben:

Abtasten durch Multiplikation mit einem Dirac-Kamm

Die Multiplikation eines glatten, schnellfallenden kontinuierlichen Signals mit einem Dirac-Kamm ist das Modell eines idealen Abtasters (engl.: sampler) mit der Abtastrate T.

In der Theorie der Signalverarbeitung stellt der Dirac-Kamm ein elegantes Hilfsmittel dar, um das Nyquist-Shannon-Abtasttheorem zu beweisen und störende Alias-Effekte zu verstehen.

Literatur

  • Hans Dieter Lüke: Signalübertragung. 11. Auflage. Springer, 2010, ISBN 978-3-642-10199-1.