Sylowovy věty

Sylowovy věty je souhrnný název pro několik matematických vět z oblasti teorie grup. Jsou částečným obrácením Lagrangeovy věty – zaručují pro prvočíselné dělitele ${\displaystyle p}$ řádu grupy ${\displaystyle G}$ existenci podgrup složených z prvků řádu ${\displaystyle p}$ a dávají dodatečnou informaci o jejich počtu a vlastnostech. Pojmenovány byly po norském matematikovi Ludwigu Sylowovi.

Sylowova p-podgrupa

Sylowovou ${\displaystyle p}$-podgrupou grupy ${\displaystyle G}$, kde ${\displaystyle p}$ je prvočíslo, nazýváme každou její podgrupu, která je maximální p-grupou (tj. takovou ${\displaystyle H}$ ≤ ${\displaystyle G}$, že každý prvek ${\displaystyle H}$ má řád mocniny ${\displaystyle p}$ a ${\displaystyle H}$ je maximální s touto vlastností). Množina všech Sylowových ${\displaystyle p}$-podgrup grupy ${\displaystyle G}$ se značí ${\displaystyle Syl_{p}(G)}$.

Znění vět

Znění i počet Sylowových vět se u různých autorů liší. Jako celek však Sylowovy věty dávají vždy tutéž informaci.

První Sylowova věta

Nechť ${\displaystyle G}$ je konečná grupa a ${\displaystyle p}$ prvočíslo dělící její řád. Pak všechny Sylowovy ${\displaystyle p}$-podgrupy ${\displaystyle G}$ jsou konjugovány (pro ${\displaystyle P,Q}$ ∈ ${\displaystyle Syl_{p}(G)}$ existuje ${\displaystyle g}$ ∈ ${\displaystyle G}$, že ${\displaystyle P=gQg^{-1}}$) a jejich počet je ${\displaystyle kp+1}$ pro nějaké ${\displaystyle 0}$ ≤ ${\displaystyle k}$ (tj. ${\displaystyle |Syl_{p}(G)|}$ ≡ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle (mod}$ ${\displaystyle p)}$).

Důsledky

• Všechny Sylowovy ${\displaystyle p}$-podgrupy ${\displaystyle G}$ jsou izomorfní.
• Konečná grupa ${\displaystyle G}$ obsahuje prvek řádu ${\displaystyle p}$ pro každé prvočíslo ${\displaystyle p}$, které dělí řád ${\displaystyle G}$.
• Konečná grupa je p-grupou, právě když je řádu mocniny ${\displaystyle p}$.

Druhá Sylowova věta

Nechť ${\displaystyle G}$ je konečná grupa řádu ${\displaystyle n=p^{a}s}$,kde ${\displaystyle p}$ je prvočíslo, které nedělí ${\displaystyle s}$ a ${\displaystyle a>0}$. Pak všechny Sylowovy ${\displaystyle p}$-podgrupy ${\displaystyle G}$ mají řád ${\displaystyle p^{a}}$.

Třetí Sylowova věta

Nechť G je konečná grupa a p prvočíslo takové, že ${\displaystyle p^{k+1}}$ dělí řád ${\displaystyle G}$. Nechť dále ${\displaystyle H}$ je podgrupa ${\displaystyle G}$ (${\displaystyle H}$ ≤ ${\displaystyle G}$) řádu ${\displaystyle p^{k}}$. Pak existuje grupa ${\displaystyle K}$ řádu ${\displaystyle p^{k+1}}$ splňující ${\displaystyle H\triangleleft K\leq G}$ (tj. ${\displaystyle H}$ je normální v ${\displaystyle K}$).

Odkazy

Související články

• Lagrangeova věta

Literatura

• DRÁPAL, Aleš. Teorie grup – základní aspekty. Praha: Karolinum, 2000. ISBN 80-246-0162-1.