Bernoulliho čísla je nekonečná posloupnost racionálních čísel
kterou popsal v roce 1631 Johann Faulhaber jako nástroj pro usnadnění počítání sum určitých mocnin po sobě jdoucích přirozených čísel. Toto použití a některé jejich vlastnosti podrobně popsal Jacob Bernoulli v knize Ars Conjectandi (vydané po smrti autora v roce 1713). Uvádí tam mimo jiné, že použitím Faulhaberova vzorce (viz níže) dokáže spočítat součet:
„za půl čtvrthodiny”.
Bernoulliho čísla našla použití v matematické analýze (při rozvoji funkcí v Taylorovu řadu) a v teorii čísel.
Definice
V současné době existují v matematice dvě definice Bernoulliho čísel: novější – uvedená níže jako definice 1 a starší – níže citovaná jako definice 2. Pro rozlišení se Bernoulliho čísla podle definice 1 označují
a podle definice 2
Čísla
tvoří vlastní podmnožinu hodnot
Bernoulliho čísla – definice 1
Bernoulliho čísla
jsou koeficienty v Taylorově rozvoji funkce:
![{\displaystyle {\frac {x}{e^{x}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}\cdot {x^{n}}}{n!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29d126a3c1870e1316b8efecbc46cba94940f813)
Tato řada konverguje pro
Bernoulliho čísla je možné také definovat rekurentně pomocí vzorce:
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{m}{m+1 \choose k}\cdot B_{k}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1f92b8cf1a343c5d461d55c86f3159b859e07e6)
kde
Bernoulliho čísla s lichými indexy většími než 2 podle této definice jsou rovna 0.
Čísla se sudými indexy většími než 0 jsou střídavě kladná a záporná.
Prvních 21 Bernoulliho čísel
počínaje
:
![{\displaystyle 1,-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}},0,-{\frac {1}{30}},0,{\frac {1}{42}},0,-{\frac {1}{30}},0,{\frac {5}{66}},0,-{\frac {691}{2730}},0,{\frac {7}{6}},0,-{\frac {3617}{510}},0,{\frac {43867}{798}},0,-{\frac {174611}{330}},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbf7d751168d6fb5f3b66b4641056f2ce686814e)
Bernoulliho čísla – definice 2
Bernoulliho čísla
jsou koeficienty v Taylorově rozvoji funkce:
![{\displaystyle 1-{\frac {x}{2}}\operatorname {cotg} \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {B_{1}^{*}\cdot {x^{2}}}{2!}}+{\frac {B_{2}^{*}\cdot {x^{4}}}{4!}}+{\frac {B_{3}^{*}\cdot {x^{6}}}{6!}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1476db8f7d63b42ac3fb9cd7f9cf9939d7c601c1)
Prvních několik Bernoulliho čísel
počínaje
:
![{\displaystyle {\frac {1}{6}},{\frac {1}{30}},{\frac {1}{42}},{\frac {1}{30}},{\frac {5}{66}},{\frac {691}{2730}},{\frac {7}{6}},{\frac {3617}{510}},{\frac {43867}{798}},{\frac {174611}{330}},{\frac {854513}{138}},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bd06b0421c0540c99f588d57ce621c2fc25baa7)
Vztah mezi čísly
a
popisuje vzorec:
![{\displaystyle {B_{n}}={\begin{cases}1,&{\mbox{pro }}n=0\\-{\frac {1}{2}},&{\mbox{pro }}n=1\\(-1)^{({\frac {n}{2}})-1}\cdot {B_{\frac {n}{2}}^{*}},&{\mbox{pro }}n{\mbox{ sudé}}\\0,&{\mbox{pro }}n{\mbox{ liché}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d11bd9895c85701ab6bf13e88e581f53c29f5e1)
Asymptotický vzorec
Použitím Stirlingova vzorce získáme následující přiblížení hodnot Bernoulliho čísel:
![{\displaystyle {B_{n}}\approx (-1)^{n-1}\cdot 4\cdot {\sqrt {\pi \cdot n}}\cdot \left({\frac {n}{\pi {e}}}\right)^{2n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f0ef8e6e8d6f54f9319d05d15d3b6bcf87e2291)
Staudtova věta
Každé Bernoulliho číslo
je možné vyjádřit ve tvaru:
![{\displaystyle B_{\nu }=C_{\nu }-\sum {\frac {1}{k+1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1661379d151e71a90122288b36902fcf8585ec84)
kde
je přirozené číslo, a sčítání se provádí pro takové dělitele k čísla
pro které je
prvočíslo.
Například Bernoulliho číslo
je možné zapsat ve tvaru
protože číslo 6 má čtyři dělitele: 1, 2, 3, 6, z nichž tři (1, 2, 6) jsou čísla o 1 menší než než prvočísla 2, 3, 7.
Příklady použití
Bernoulliho čísla se objevují v Taylorových rozvojích mnoha funkcí jako
aj.
Faulhaberův vzorec pro součet mocnin po sobě jdoucích přirozených čísel:
![{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}{j^{k}}={\frac {1}{k+1}}\cdot \left\langle n^{k+1}+{{K+1} \choose {1}}\,{B_{1}}n^{k}+{{K+1} \choose {2}}\,{B_{2}}n^{k-1}+\cdots +{{K+1} \choose {k}}\,{B_{k}}n\right\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6589fc58fbac74a5aed0d683a813805c19916067)
Vztah s Riemannovou funkcí zeta popisuje Eulerův vzorec:
![{\displaystyle \zeta (2k)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2k}}}={\frac {\pi ^{2k}2^{2k-1}}{(2k)!}}B_{2k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fa4e3a06c6e2cb6ba78f4553d8115108b765ad8)
Z něj plyne, že
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/664617be29449b83fe4c47625907f1713ec4b523)
Další vzorec pocházející od Leonharda Eulera:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1}}{\frac {1}{n^{2k}}}=(-1)^{k+1}{\frac {\pi ^{2k}\left(2^{2k-1}-1\right)}{(2k)!}}B_{2k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2140c3bf4396cefdf55dd9f0a6196ed4d2929a43)
Bernoulliho čísla byla studována mj. spolu s regulárními prvočísly. Mnoho dalších vlastnosti Bernoulliho čísel a jejich dalších použití je možné najít v níže uvedené literatuře.
Odkazy
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Liczby Bernoulliego na polské Wikipedii.
Literatura
- liczby Bernoulliego [online]. PWN [cit. 2021-10-02]. Dostupné online. (polsky)
- ГЕЛЬФОНД, A. О., 1952. Исчисление конечных разностей. [s.l.]: ГИТТЛ. (rusky)
- RIBENBOIM, Paulo, 1997. Mała księga wielkich liczb pierwszych. Warszawa: WNT. ISBN 83-204-2201-9. OCLC 69586783 (polsky)
- CONWAY, J.H.; GUY, R.K., 1999. Księga liczb. Warszawa: WNT. ISBN 83-204-2366-X. (polsky)
- GRAHAM, R.L.; KNUTH, D.E.; PATASHNIK, O., 2006. Matematyka konkretna. Warszawa: WNT. ISBN 83-01-14764-4. Kapitola 6.5: Liczby Bernoulliego. (polsky)
- WEISSTEIN, E.W. MathWorld [online]. Wolfram Research. Kapitola Bernoulli Number. Dostupné online. (anglicky)
Externí odkazy
Portály: Matematika