Mòdul

Per a altres significats, vegeu «Mòdul (desambiguació)».

Un A-mòdul és una estructura algebraica que involucra un anell A i un grup abelià. Es tracta d'una generalització de l'estructura d'espai vectorial en la qual el cos d'escalars és substituït per un anell.

A-mòduls per l'esquerra

Sigui ${\displaystyle A\,}$ un anell i ${\displaystyle M\,}$ un grup abelià. El grup ${\displaystyle M\,}$ té estructura de ${\displaystyle A}$-mòdul per l'esquerra si l'anell ${\displaystyle A\,}$ opera linealment per l'esquerra sobre els elements de ${\displaystyle M\,}$, és a dir, si hi ha una operació externa de ${\displaystyle A\,}$ sobre ${\displaystyle M\,}$:

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}A\times M&\longrightarrow &M\\(\lambda ,x)&\longmapsto &\lambda x\\\end{array}}}$

amb les condicions de linealitat

${\displaystyle \lambda (x+y)=\lambda x+\lambda y\,}$

${\displaystyle (\lambda +\mu )x=\lambda x+\mu x\,}$

${\displaystyle (\lambda \mu )x=\lambda (\mu x)\,}$

per a ${\displaystyle \lambda ,\mu \in A}$ i ${\displaystyle x,y\in M}$. Si, a més, l'anell té unitat, es demana que

${\displaystyle 1x=x\,}$

A-mòduls per la dreta

Si l'operació externa és per la dreta,

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}M\times A&\longrightarrow &M\\(x,\lambda )&\longmapsto &x\lambda \\\end{array}}}$

amb les corresponents condicions de linealitat:

${\displaystyle (x+y)\lambda =x\lambda +y\lambda \,}$

${\displaystyle x(\lambda +\mu )=x\lambda +x\mu \,}$

${\displaystyle x(\lambda \mu )=(x\lambda )\mu \,}$

aleshores es tracta d'un ${\displaystyle A}$-mòdul per la dreta.

A-mòduls bilàters

Si l'anell ${\displaystyle A}$ és commutatiu, aleshores és possible la identificació ${\displaystyle \lambda x=x\lambda }$, perquè les condicions ${\displaystyle (\lambda \mu )x=\lambda (\mu x)\,}$ i ${\displaystyle x(\lambda \mu )=(x\lambda )\mu \,}$ ja no són contradictòries. Aleshores ${\displaystyle M}$ té estructura de ${\displaystyle A}$-mòdul bilàter o, simplement, d'${\displaystyle A}$-mòdul. El costum, però, és d'escriure'n les propietats i els càlculs com si es tractés d'un ${\displaystyle A}$-mòdul per l'esquerra.

Exemples

• Si ${\displaystyle A}$ és un anell, ell mateix es pot considerar com a ${\displaystyle A}$-mòdul de manera natural:

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}A\times A&\longrightarrow &A\\(x,y)&\longmapsto &xy\\\end{array}}}$

• Els grups commutatius són ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-mòduls. En efecte, si ${\displaystyle G}$ és un grup commutatiu (notació additiva) i ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$, l'operació externa de ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ sobre ${\displaystyle G}$ donada per:

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\mathbb {Z} \times G&\longrightarrow &G\\(n,g)&\longmapsto &{\begin{cases}\overbrace {g+g+\cdots +g} ^{n},{\mbox{ si }}n>0\\0,{\mbox{ si }}n=0\\-(\overbrace {g+g+\cdots +g} ^{n}),{\mbox{ si }}n<0\end{cases}}\\\end{array}}}$

dota el grup ${\displaystyle G}$ d'una estructura de ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-mòdul.

• Els espais vectorials sobre un cos ${\displaystyle K}$ són ${\displaystyle K}$-mòduls.

• Si ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{A}(E)}$ és l'anell d'endomorfismes d'un ${\displaystyle A}$-mòdul ${\displaystyle M}$, l'operació externa

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\operatorname {Hom} _{A}(E)\times M&\longrightarrow &M\\(\varphi ,x)&\longmapsto &\varphi (x)\\\end{array}}}$

fa que ${\displaystyle M}$ es pugui considerar un ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{A}(E)}$-mòdul.

• Si ${\displaystyle A}$ és un anell i ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\,}$ n'és un ideal (per l'esquerra), aleshores el propi ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\,}$, amb l'operació

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}A\times {\mathfrak {a}}&\longrightarrow &{\mathfrak {a}}\\(x,a)&\longmapsto &xa\\\end{array}}}$

és un ${\displaystyle A}$-mòdul (per l'esquerra), perquè, per a tot ${\displaystyle a\in {\mathfrak {a}}}$ i tot ${\displaystyle x\in A}$, el producte ${\displaystyle xa}$ pertany a ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\,}$.

Viccionari