Escalar de Lorentz

En una teoria relativista de la física, un escalar de Lorentz és una expressió, formada a partir d'elements de la teoria, que s'avalua com un escalar, invariant sota qualsevol transformació de Lorentz. Un escalar de Lorentz es pot generar a partir, per exemple, del producte escalar de vectors, o de tensors contractants de la teoria. Mentre que els components dels vectors i tensors estan alterats en general sota transformacions de Lorentz, els escalars de Lorentz romanen sense canvis.[1][2]

Un escalar de Lorentz no sempre es veu immediatament com un escalar invariant en el sentit matemàtic, però el valor escalar resultant és invariant sota qualsevol transformació de base aplicada a l'espai vectorial, en la qual es basa la teoria considerada. Un escalar de Lorentz simple a l'espai-temps de Minkowski és la distància espai-temps ("longitud" de la seva diferència) de dos esdeveniments fixos en l'espai-temps. Mentre que els 4 vectors de "posició" dels esdeveniments canvien entre diferents marcs inercials, la seva distància espai-temps roman invariant sota la transformació de Lorentz corresponent. Altres exemples d'escalars de Lorentz són la "longitud" de 4 velocitats (vegeu més avall), o la curvatura de Ricci en un punt de l'espai-temps des de la relativitat general, que és una contracció del tensor de curvatura de Riemann allà.[3]

Escalars simples en relativitat especial

Longitud d'un vector de posició

Línies del món per a dues partícules a diferents velocitats.

En la relativitat especial, la ubicació d'una partícula en l'espai-temps de 4 dimensions ve donada per

x μ = ( c t , x ) {\displaystyle x^{\mu }=(ct,\mathbf {x} )}
on x = v t {\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {v} t} és la posició en l'espai tridimensional de la partícula, v {\displaystyle \mathbf {v} } és la velocitat en l'espai tridimensional i c {\displaystyle c} és la velocitat de la llum

La "longitud" del vector és un escalar de Lorentz i ve donada per

x μ x μ = η μ ν x μ x ν = ( c t ) 2 − x ⋅ x   = d e f   ( c τ ) 2 {\displaystyle x_{\mu }x^{\mu }=\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }=(ct)^{2}-\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ (c\tau )^{2}}
on τ {\displaystyle \tau } és el temps adequat mesurat per un rellotge en el marc de repòs de la partícula i la mètrica de Minkowski ve donada per

η μ ν = η μ ν = ( 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 ) . {\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}.}
Aquesta és una mètrica com el temps.

Sovint s'utilitza la signatura alternativa de la mètrica de Minkowski en la qual s'inverteixen els signes dels uns.

η μ ν = η μ ν = ( − 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) . {\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}.}
Aquesta és una mètrica semblant a l'espai.

En la mètrica de Minkowski l'interval semblant a l'espai s {\displaystyle s} es defineix com

x μ x μ = η μ ν x μ x ν = x ⋅ x − ( c t ) 2   = d e f   s 2 . {\displaystyle x_{\mu }x^{\mu }=\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }=\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} -(ct)^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ s^{2}.}
Utilitzem la mètrica de Minkowski semblant a l'espai a la resta d'aquest article.[4]

Referències

  1. ↑ «4.1: Lorentz Scalars» (en anglès), 03-01-2018. [Consulta: 20 abril 2024].
  2. ↑ «The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 26: Lorentz Transformations of the Fields» (en anglès). [Consulta: 20 abril 2024].
  3. ↑ «The Lorentz Transformation of E and B Fields» (en anglès). [Consulta: 20 abril 2024].
  4. ↑ «4: Tensors» (en anglès), 16-10-2016. [Consulta: 20 abril 2024].