Equació de Helmholtz

Dues fonts de radiació en el pla, definida matemàticament per la funció ƒ, que és zero a la regió blava
La part real del camp A resultant, on A és la solució a l'equació ( ∇ 2 + k 2 ) A = − f {\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})A=-f}

La equació de Helmholtz , anomenada així per Hermann von Helmholtz ve donada per:

( ∇ 2 + k 2 ) ϕ = 0 {\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\phi =0}

on ∇ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}} és el laplacià, k {\displaystyle k} és una constant (nombre d'ona), i ϕ {\displaystyle \phi } un camp escalar, és aquest cas, el camp magnètic i elèctric.

Deducció teòrica de l'equació

Anem a mostrar com es dedueixen les equacions de Helmholtz a partir de les equacions de Maxwell. Per medis[1] no conductors lliures de fonts caracteritzats per ϵ {\displaystyle \epsilon } i μ ( σ = 0 ) {\displaystyle \mu (\sigma =0)} , les equacions de Maxwell es redueixen a:

A : ∇ → × E → = − μ ∂ H → ∂ t {\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-\mu {\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}}

B : ∇ → × H → = − ϵ ∂ E → ∂ t {\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}=-\epsilon {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}}

C : ∇ → ⋅ E → = 0 {\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}=0}


D : ∇ → ⋅ H → = 0 {\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {H}}=0}


Les equacions anteriors A , B , C i D són equacions diferencials de primer grau per als camps E → {\displaystyle {\vec {E}}} i H → {\displaystyle {\vec {H}}} . Podem combinar per produir una equació de segon grau contenint únicament E → {\displaystyle {\vec {E}}} o H → {\displaystyle {\vec {H}}} . Fem servir les equacions A i B i operant s'obté:

∇ → × ∇ → × E → = − μ ∂ ( ∇ → × H → ) ∂ t = − μ ⋅ ϵ ∂ 2 E → ∂ t 2 {\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-\mu {\frac {\partial ({\vec {\nabla }}\times {\vec {H}})}{\partial t}}=-\mu \cdot \epsilon {\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}}


Però sabem que: ∇ → × ∇ → × E → = ∇ → ( ∇ → ⋅ E → ) − ∇ 2 → E → {\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}={\vec {\nabla }}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}})-{\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {E}}}

i utilitzant l'equació C tenim que:

∇ → × ∇ → × E → = − ∇ 2 → E → {\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {E}}}

Per tant substituint els termes tenim finalment que:

∇ 2 → E → − μ ⋅ ϵ ∂ 2 E → ∂ t 2 {\displaystyle {\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {E}}-\mu \cdot \epsilon {\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}}

La velocitat de fase ve donada per:

v p = ω k {\displaystyle v_{\mathrm {p} }={\frac {\omega }{k}}}

el que significa que: v p = 1 μ ϵ {\displaystyle v_{\mathrm {p} }={\frac {1}{\sqrt {\mu \epsilon }}}}

i per tant, substituint, tenim:

∇ 2 → E → − 1 v p 2 ∂ 2 E → ∂ t 2 = 0 {\displaystyle {\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {E}}-{\frac {1}{v_{\mathrm {p} }^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}=0}

Anàlogament podem treure l'equació per H → {\displaystyle {\vec {H}}} :

∇ 2 → H → − 1 v p 2 ∂ 2 H → ∂ t 2 = 0 {\displaystyle {\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {H}}-{\frac {1}{v_{\mathrm {p} }^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {H}}}{\partial t^{2}}}=0}

Com podem apreciar, les dues equacions anteriors són les equacions d'ona vectorials homogènies . Descomponent aquestes dues equacions obtingudes en coordenades cartesianes podem descompondre'l en tres equacions d'ones escalars, homogènies i unidimensionals. Cada component del camp elèctric i magnètic ha de satisfer una equació la solució representa una ona. Per camps amb dependència harmònica amb el temps convenientment utilitzada fasors. D'aquesta manera del deduït previ, s'arriba a la conclusió:

∇ 2 → E s → + ω 2 v p 2 E s → = 0 {\displaystyle {\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {E_{\mathrm {s} }}}+{\frac {\omega ^{2}}{v_{\mathrm {p} }^{2}}}{\vec {E_{\mathrm {s} }}}=0}

o

∇ 2 → E s → + k 2 E s → = 0 {\displaystyle {\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {E_{\mathrm {s} }}}+k^{2}{\vec {E_{\mathrm {s} }}}=0}

Anàlogament trobem la següent equació per al camp electromagnètic:

∇ 2 → H s → + k 2 H s → = 0 {\displaystyle {\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {H_{\mathrm {s} }}}+k^{2}{\vec {H_{\mathrm {s} }}}=0}

Bibliografia

  • Handbook of Mathematical functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables. New York: Dover Publications, 1964. ISBN 0-486-61272-4. 
  • Riley, K. F.; Hobson, M. P.; Bence, S. J.. «Chapter 19». A: Mathematical methods for physics and engineering. New York: Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-89067-5. 
  • Riley, K. F.. «Chapter 16». A: Mathematical Methods for Scientists and Engineers. Sausalito, California: University Science Books, 2002. ISBN 1-891389-24-6. 
  • Saleh, Bahaa E. A.; Teich, Malvin Carl. «Chapter 3». A: Fundamentals of Photonics. New York: John Wiley & Sons, 1991, p. 80–107. ISBN 0-471-83965-5. 
  • Sommerfeld, Arnold. «Chapter 16». A: Partial Differential Equations in Physics. New York: Academic Press, 1949. ISBN 0126546568. 
  • Howe, M. S.. Acoustics of fluid-structure interactions. New York: Cambridge University Press, 1998. ISBN 0-521-63320-6. 

Referències

  1. ↑ Relativitat especial i electrodinàmica clàssica. Edicions Universitat Barcelona, 1998, p. 63–. ISBN 978-84-8338-048-2. 
  • David K. Cheng "Fonaments d'Electromagnetisme per enginyeria"
  • Pozar D.M. "Microwave engineering"