Σ-àlgebra de Borel

La σ-àlgebra de Borel associada a un espai topològic T és la més petita de les σ-àlgebres a T que contenen tots els oberts de T;^[1] en altres paraules, és la σ-àlgebra generada pels conjunts oberts de T. Els elements de la σ-àlgebra de Borel s'anomenen conjunts de Borel o conjunts borelians o simplement borelians. L'existència i unicitat de la σ-àlgebra mínima es demostra construint-la com la intersecció de totes les σ-àlgebres que contenen T, ja que el resultat d'una intersecció d'un nombre arbitrari de σ-àlgebres és també una σ-àlgebra.^[2]

De manera equivalent, es pot definir la σ-àlgebra de Borel com la menor de les σ-àlgebres que contenen tots els subconjunts tancats de T.

σ-àlgebra de Borel sobre ℝ

Un exemple particularment important és la σ-àlgebra de Borel al conjunt dels nombres reals ${\displaystyle {\mathbb {R} }}$ definida com la més petita de les σ-àlgebres a ${\displaystyle {\mathbb {R} }}$ que conté tots els intervals,^[3] i que es designa per ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$. Altres caracteritzacions alternatives d'aquesta σ-àlgebra són (entre altres) les següents:^[4] És la mínima σ-àlgebra a ${\displaystyle {\mathbb {R} }}$ que conté:

• Tots els intervals oberts.
• Tots els intervals tancats.
• Tots els intervals de la forma ${\displaystyle [a,b)}$ amb ${\displaystyle a<b}$.
• totes les semirectes de la forma ${\displaystyle (-\infty ,a]}$.
• totes les semirectes de la forma ${\displaystyle [a,\infty )}$.

Això és degut al fet que qualsevol classe d'intervals es pot obtenir a partir de les altres mitjançant operacions numerables. Per exemple, ${\displaystyle (a,b)=\bigcup _{n=1}^{\infty }{\Big [}a+{\frac {1}{n}},b{\Big )}}$. Encara més, utilitzant la densitat dels nombres racionals es pot veure que en les col·leccions d'intervals anterior n'hi ha prou amb considerar els intervals amb extrems racionals: per exemple, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ és la σ-àlgebra generada per la família ${\displaystyle {\big \{}(-\infty ,a],\ a\in \mathbb {Q} {\big \}}}$.^[5] Es diu que és una σ-àlgebra separable^[6] o numerablement generada^[7]

σ-àlgebra de Borel sobre ℝⁿ

De manera anàloga és defineix la σ-àlgebra de Borel sobre ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, que es designa per ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{n}}$: és la menor σ-àlgebra que conté tots els oberts de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (o tots els tancats), i també admet diverses famílies de generadors, per exemple, els productes d'intervals oberts ${\displaystyle (a_{1},b_{1})\times \cdots \times (a_{n},b_{n})}$ o semioberts ${\displaystyle [a_{1},b_{1})\times \cdots \times [a_{n},b_{n})}$, etc., que a més poden agafar-se amb d'extrems racionals ^[5]

Vegeu també

• Sigma-àlgebra
• Mesura (matemàtiques)
• Espai de probabilitat
• Conjunt obert

Referències